Cho phương trình: (m² + 5)x² - 2mx - 6m = 0 (1) với m là tham số

Để giải bài toán này, ta sẽ chia thành hai phần như đã được yêu cầu.

### a) Tìm \( m \) sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không thể là số nguyên.

**Phương trình đã cho:**
\[
(m^2 + 5)x^2 - 2mx - 6m = 0
\]

**Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt:**
Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi **định thức** lớn hơn 0:
\[
D = b^2 - 4ac > 0
\]

Trong trường hợp này, \( a = m^2 + 5 \), \( b = -2m \), và \( c = -6m \):

Tính định thức:
\[
D = (-2m)^2 - 4(m^2 + 5)(-6m) = 4m^2 + 24m(m^2 + 5) = 4m^2 + 24m^3 + 120m
\]

**Đưa về linh hoạt:**
\[
D = 24m^3 + 124m^2 > 0
\]

Ta cần giải bất phương trình này.

**Giải:**
- \( m = 0 \): \( D = 0 \) (không phân biệt)
- \( m \) khác 0: \( 24m^3 + 124m^2 > 0 \) → ta thấy bất phương trình này luôn đúng với \( m \neq 0 \).

Do đó, \( m \) có thể là tất cả các giá trị khác 0.

**Chứng minh rằng tổng \( x_1 + x_2 \) không phải là số nguyên:**
Tổng nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x_1 + x_2 = \frac{2m}{m^2 + 5}
\]

Ta xét khả năng tổng này có thể là số nguyên. Nếu tổng là số nguyên, thì
\[
\frac{2m}{m^2 + 5} = k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Sắp xếp lại sẽ cho ta:
\[
2m = k(m^2 + 5)
\]
=> \( km^2 - 2m + 5k = 0 \)

Tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm phân biệt \( m \):
\[
D = (-2)^2 - 4k \cdot 5k = 4 - 20k^2
\]

Để có hai nghiệm phân biệt:
\[
D > 0 \Rightarrow 4 > 20k^2 \Rightarrow k^2 < \frac{1}{5}
\]

Điều này chỉ cho phép \( k = 0 \). Khi \( k = 0 \), tổng bằng 0, nhưng với \( k \neq 0 \) thì tổng không thể là số nguyên, đây là mâu thuẫn.

### b) Tìm \( m \) sao cho phương trình (1) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \), thỏa mãn điều kiện:
\[
\left( x_1 x_2 - x_1 + x_2 \right)^4 = 16
\]

**Giải điều kiện:**
\[
x_1 x_2 = \frac{-c}{a} = \frac{6m}{m^2 + 5}
\]
\[
x_1 + x_2 = \frac{2m}{m^2 + 5}
\]

Ta có điều kiện:
\[
x_1 x_2 - x_1 + x_2 = \frac{6m}{m^2 + 5} - \left( \frac{2m}{m^2 + 5} \right) = \frac{4m}{m^2 + 5}
\]

Đặt:
\[
\left( \frac{4m}{m^2 + 5} \right)^4 = 16
\]

Giải phương trình này, ta có:
\[
\frac{4m}{m^2 + 5} = 2 \text{ hoặc } \frac{4m}{m^2 + 5} = -2
\]

**Giải hai trường hợp:**

1. **Trường hợp 1:**
\[
4m = 2(m^2 + 5) \Rightarrow 4m = 2m^2 + 10 \Rightarrow 2m^2 - 4m + 10 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm, không có nghiệm thực.

2. **Trường hợp 2:**
\[
4m = -2(m^2 + 5) \Rightarrow 4m = -2m^2 - 10 \Rightarrow 2m^2 + 4m + 10 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm cũng không có nghiệm thực.

### Kết luận:
Không thể tìm được giá trị cụ thể cho \( m \) thỏa mãn cả hai điều kiện.