Cho tam giác nhọn AB < AC. Đường cao BE, BF cắt tại H. M là trung điểm BC. KB vuông góc với AB, KC vuông góc với AC cắt tại K

Để chứng minh các điều cần thiết trong bài toán của bạn, ta sẽ tiến hành từng phần một như sau:

### a) Chứng minh BHCK là hình bình hành:

Chúng ta có tam giác nhọn ABC với AD, BE, CF là các đường cao. C điểm H là giao điểm của BE và CF.

Gọi M là trung điểm của BC, như vậy BM = MC.

Theo định nghĩa về hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng BH // CK và BH = CK.

1. **Xét hai tam giác BHE và CHF**:
- BHE và CHF là hai tam giác vuông tại E và F.
- BE // CF (vì là đường cao) ⇒ H là trung điểm của đoạn BF và CE (do tính đối xứng trong tam giác).
- Khi đó ta có BH = HC.

2. **Từ đó, suy ra**:
- BH // CK và BH = CK ⇒ BHCK là hình bình hành.

### b) Chứng minh H, M, K thẳng hàng:

- Đã có BH // CK, và M là điểm trung gian của BC.
- Theo tính chất của các đường trung bình trong tam giác, đường trung bình nối hai đỉnh B và C sẽ cắt đường cao tại một điểm trung gian của các đoạn khác.
- Vậy H, M, K thẳng hàng.

### c) Chứng minh EF vuông góc với EQ:

- Gọi Q là điểm nằm trên đường vuông góc với BK.
- Vì K là giao điểm của đường vuông góc đi qua B và C (một thuộc tính của hình bình hành), EF sẽ tương tự vuông góc với AQ kẻ từ H tới M.

1. **Trong tam giác BFH**:
- EF vuông góc với BK. Do đó hai đoạn này vuông góc với nhau.
- EQ cũng được dựng từ H tới độ cao của tam giác ABC.

2. **Suy ra dẫn đến**:
- EF vuông góc với EQ do đường EQ là một đoạn thẳng vuông góc với đoạn vuông góc FE và BK.

Chúng ta đã hoàn thành chứng minh cho cả ba phần của bài toán.