Để xác định xem \( B = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{60} \) có chia hết cho 13 hay không, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Cấp số nhân này có số hạng đầu là \( 3 \) và công bội là \( 3 \), với số hạng cuối là \( 3^{60} \). Sử dụng công thức tổng cấp số nhân, ta có:

\[
B = a \frac{(r^n - 1)}{r - 1}
\]

Với \( a = 3 \), \( r = 3 \), và \( n = 60 \), ta có:

\[
B = 3 \cdot \frac{3^{60} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{61} - 3}{2}
\]

Để kiểm tra xem \( B \) có chia hết cho 13 hay không, ta xem xét \( 3^{61} - 3 \) và tính mô-đun 13.

Trước tiên, chúng ta có chu kỳ của \( 3^k \) mô-đun 13. Ta tính vài luỹ thừa của 3:

- \( 3^1 \mod 13 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \mod 13 \equiv 9 \)
- \( 3^3 \mod 13 \equiv 1 \)

Mỗi ba số hạng, giá trị trở về 1, tức là chu kỳ là 3.

Do đó, \( 3^{61} \mod 13 \):

- \( 61 \mod 3 \equiv 1 \), vậy \( 3^{61} \equiv 3 \).

Bây giờ tính \( 3^{61} - 3 \mod 13 \):

\[
3^{61} - 3 \equiv 3 - 3 \equiv 0 \mod 13
\]

Điều này có nghĩa là \( 3^{61} - 3 \) chia hết cho 13.

Cuối cùng, vì \( B = \frac{3^{61} - 3}{2} \), chúng ta cần kiểm tra xem \( \frac{0}{2} \) có chia hết cho 13 hay không. \( 0 \) chia cho bất kỳ số nào khác 0 đều là 0, và 0 chia hết cho 13.

Vậy, **B chia hết cho 13**.