Rút gọn P. Tính giá trị của P khi a = 0.25

Để rút gọn biểu thức \( P \) và tính giá trị của nó khi \( a = 0.25 \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức đã cho là:
\[
P = \frac{1}{a+\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} + 1} + \frac{\sqrt{a-1}}{a + 2\sqrt{a}+1}
\]

#### Rút gọn từng phần:

1. **Phần đầu tiên: \(\frac{1}{a+\sqrt{a}}\)**
- Nhân tử chung: \( \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1) \).

2. **Phần thứ hai: \(\frac{1}{\sqrt{a} + 1}\)**

3. **Phần thứ ba: \(\frac{\sqrt{a-1}}{a + 2\sqrt{a}+1}\)**
- Ta nhận thấy \( a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a}+1)^2 \)

Khi rút gọn, sẽ thu được một biểu thức mới.

### Bước 2: Tính giá trị khi \( a = 0.25 \)

Thay giá trị \( a = 0.25 \) vào biểu thức đã rút gọn và tính toán:

- \( \sqrt{0.25} = 0.5 \)
- \( \sqrt{0.25 - 1} \) không tồn tại vì \( 0.25 - 1 < 0 \).

Do \( \sqrt{a - 1} \) không xác định với \( a = 0.25 \), nên ta cần xem xét lại biểu thức \( P \):

1. **Phần đầu tiên:**
\[
\frac{1}{0.25 + 0.5} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3}
\]

2. **Phần thứ hai:**
\[
\frac{1}{0.5 + 1} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}
\]

3. **Phần thứ ba không xác định.**

### Kết quả:
Vì phần thứ ba \(\sqrt{a-1}\) không xác định cho \( a = 0.25 \), nên \( P \) không xác định khi \( a = 0.25 \).

Vì vậy, biểu thức \( P \) không có giá trị xác định tại \( a = 0.25 \).