Chứng tỏ rằng 3^1000 có ít hơn 1001 chữ số

Để chứng minh rằng \(3^{1000}\) có ít hơn 1001 chữ số, chúng ta có thể sử dụng công thức tính số chữ số của một số trong hệ thập phân.

Số chữ số của một số \(n\) trong hệ thập phân được tính bằng:

\[
d(n) = \lfloor \log_{10} n \rfloor + 1
\]

Trong trường hợp này, \(n = 3^{1000}\). Do đó, số chữ số của \(3^{1000}\) là:

\[
d(3^{1000}) = \lfloor \log_{10} (3^{1000}) \rfloor + 1
\]

Áp dụng quy tắc của logarithm, ta có:

\[
\log_{10} (3^{1000}) = 1000 \cdot \log_{10} 3
\]

Vậy,

\[
d(3^{1000}) = \lfloor 1000 \cdot \log_{10} 3 \rfloor + 1
\]

Tiếp theo, chúng ta cần tính giá trị của \( \log_{10} 3 \). Một giá trị gần đúng là:

\[
\log_{10} 3 \approx 0.4771
\]

Bây giờ, tính \(1000 \cdot \log_{10} 3\):

\[
1000 \cdot \log_{10} 3 \approx 1000 \cdot 0.4771 = 477.1
\]

Vậy ta có:

\[
\lfloor 1000 \cdot \log_{10} 3 \rfloor = \lfloor 477.1 \rfloor = 477
\]

Do đó, số chữ số của \(3^{1000}\) là:

\[
d(3^{1000}) = 477 + 1 = 478
\]

Cuối cùng, ta thấy rằng:

\[
478 < 1001
\]

Vậy chúng ta có thể kết luận rằng \(3^{1000}\) có ít hơn 1001 chữ số.