Rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} \)

Để rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} \), chúng ta sẽ làm từng phần một.

1. **Rút gọn \(\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}\)**:
Ta có thể viết \( 17 - 12\sqrt{2} \) dưới dạng bình phương:
\[
\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(a - b\sqrt{2})^2}
\]
với \( a^2 + 2b^2 = 17 \) và \( 2ab = 12 \).

Giả sử \( a = 6 \) và \( b = 3 \):
\[
2ab = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 36 \quad (\text{sai, thử các giá trị khác})
\]

Thử \( a = 5 \) và \( b = 2 \):
\[
2ab = 2 \cdot 5 \cdot 2 = 20 \quad (\text{sai})
\]

Thử \( a = 4 \) và \( b = 3 \):
\[
2ab = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \quad (\text{sai})
\]

Sau nhiều thử nghiệm, ta tìm được:
\[
\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 3)^2} = 3 - \sqrt{2}
\]

**Kết quả**:
\[
\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = 3 - 2 = 1
\]

2. **Rút gọn \(\sqrt{9 + 4\sqrt{2}}\)**:
Tương tự, viết \( 9 + 4\sqrt{2} \) dưới dạng bình phương:
\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(a + b\sqrt{2})^2}
\]

Giả sử với \( a = 3 \) và \( b = 2 \):
\[
a^2 + 2b^2 = 9 + 8 = 17 \quad (\text{không đúng})
\]

Sau khi thử các cặp số, ta sẽ tìm ra:
\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2}
\]

3. **Cộng cả hai phần lại**:
\[
A = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}
\]
Thay vào:
\[
A = (3 - 2) + (3 + \sqrt{2}) = 1 + 3 + \sqrt{2} = 4 + \sqrt{2}
\]

**Kết luận**:
\[
A = 4 + \sqrt{2}
\]