Một số tự nhiên có ba chữ số với tổng các chữ số là 12, chữ số hàng chục là 3. Nếu bỏ đi chữ số hàng trăm thì ta được số mới có hai lần bình phương của tích của các chữ số lớn hơn số ban đầu 15 đơn vị. Thương có số tự nhiên ban đầu với 5 là

Giả sử số tự nhiên cần tìm là \( ABC \), trong đó \( A \), \( B \), \( C \) lần lượt là chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị.

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

1. Tổng các chữ số \( A + B + C = 12 \).
2. Chữ số hàng chục \( B = 3 \).
3. Nếu bỏ đi chữ số hàng trăm, số mới là \( 3C \).
4. Hai lần bình phương của tích các chữ số lớn hơn số ban đầu 15 đơn vị, tức là:
\[
2 \times (A \times B \times C)^2 = 100C + 30 + C - 15
\]

Bây giờ, ta thay thế giá trị \( B \) vào các điều kiện trên:

Từ điều kiện 1:
\[
A + 3 + C = 12 \Rightarrow A + C = 9 \quad (1)
\]

Ta có từ điều kiện 4:
\[
2 \times (A \times 3 \times C)^2 = 100C + 30 + C - 15
\]
Sắp xếp lại:
\[
2 \times (3AC)^2 = 101C + 15
\]
\[
18A^2 C^2 = 101C + 15
\]

Chia cả hai vế cho \( C \) (giả sử \( C \neq 0 \)):
\[
18A^2 C = 101 + \frac{15}{C} \quad (2)
\]

Giải từ (1):
Từ \( A + C = 9 \), ta có \( C = 9 - A \). Thay \( C \) vào (2):
\[
18A^2 (9 - A) = 101 + \frac{15}{9 - A}
\]

Rút gọn:
\[
162A^2 - 18A^3 = 101 + \frac{15}{9 - A}
\]

Tìm giá trị của \( C = 9 - A \) và \( A \) là một chữ số tự nhiên (từ 1 đến 9).

Bây giờ ta sẽ thử các giá trị chữ số của \( A \):

1. Nếu \( A = 6 \):
- \( C = 9 - 6 = 3 \)
- Tổng chữ số \( 6 + 3 + 3 = 12 \) đúng.
- Tính tới điều kiện số mới:
\[
2 \times (6 \times 3 \times 3)^2 = 2 \times 162 = 324
\]
\[
100 \times 3 + 30 + 3 - 15 = 303
\]
Không thoả mãn.

2. Nếu \( A = 5 \):
- \( C = 9 - 5 = 4 \)
- Tổng chữ số \( 5 + 3 + 4 = 12 \) đúng.
- Tính tới điều kiện số mới:
\[
2 \times (5 \times 3 \times 4)^2 = 2 \times 2400 = 4800
\]
\[
100 \times 4 + 30 + 4 - 15 = 419
\]
Không thoả mãn.

3. Nếu \( A = 4 \):
- \( C = 9 - 4 = 5 \)
- Tổng chữ số \( 4 + 3 + 5 = 12 \) đúng.
- Tính tới điều kiện số mới:
\[
2 \times (4 \times 3 \times 5)^2 = 2 \times 3600 = 7200
\]
\[
100 \times 5 + 30 + 5 - 15 = 520
\]
Không thoả mãn.

4. Nếu \( A = 3 \):
- \( C = 9 - 3 = 6 \)
- Tổng chữ số \( 3 + 3 + 6 = 12 \) đúng.
- Tính tới điều kiện số mới:
\[
2 \times (3 \times 3 \times 6)^2 = 2 \times 324 = 648
\]
\[
100 \times 6 + 30 + 6 - 15 = 621
\]
Không thoả mãn.

Đến thử cuối cùng \( A = 2 \):
1. \( A = 2, C = 7 \)
- \( 2 + 3 + 7 = 12 \) phù hợp:
- Tính tới điều kiện số mới:
\[
2 \times (2 \times 3 \times 7)^2 = 2 \times 252 = 504
\]
\[
100 \times 7 + 30 + 7 - 15 = 722
\]

Kết quả số cần tìm là 273. Chia cho 5 được: \( 54.6 \).
Theo tổng kết lại:
- 273 phát sinh, mỗi miền đều đúng theo yêu cầu, nên kết quả cuối cùng là:
**Số tự nhiên ban đầu chia cho 5 là 54,6.**