Cho a, b, c là số thực bất kỳ. Chứng minh rằng: \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^3 \]

Để chứng minh bất đẳng thức sau:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^3,
\]

chúng ta có thể bắt đầu từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cụ thể, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2) \left(1^2 + 1^2 + 1^2\right) \geq (a + b + c)^2.
\]

Sử dụng điều này, ta thay \(1^2 + 1^2 + 1^2 = 3\):

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2.
\]

Chia cả hai vế cho 3:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3}.
\]

Để so sánh \(\frac{(a + b + c)^2}{3}\) với \(\left( \frac{a+b+c}{3} \right)^3\), ta cần rút gọn biểu thức. Theo định lý AM-GM ta có:

\[
\frac{(a + b + c)^2}{3} \geq \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^2.
\]

Vậy ta có:

\[
\left( \frac{(a+b+c)}{3} \right)^2 \leq \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^3,
\]

và suy ra:

\[
\frac{(a+b+c)^2}{3} \geq \left( \frac{(a+b+c)}{3} \right)^3,
\]

khẳng định rằng:

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^3.
\]

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.