Để chứng minh rằng phân thức \(\frac{x^2 - 6x + 10}{x^2 - x + 2}\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\), ta cần kiểm tra dấu của tử số và mẫu số.

1. **Xét tử số** \(x^2 - 6x + 10\):
- Tính delta:
\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
\]
- Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(x^2 - 6x + 10 = 0\) không có nghiệm thực. Hơn nữa, hệ số của \(x^2\) là dương (1), nên hàm bậc 2 này luôn dương, nghĩa là:
\[
x^2 - 6x + 10 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

2. **Xét mẫu số** \(x^2 - x + 2\):
- Tính delta:
\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7
\]
- Tương tự, vì \(\Delta < 0\), phương trình \(x^2 - x + 2 = 0\) cũng không có nghiệm thực. Hệ số của \(x^2\) là dương (1), nên hàm này cũng luôn dương, tức là:
\[
x^2 - x + 2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

3. **Kết luận**:
- Do cả tử số và mẫu số đều dương trên toàn bộ tập số thực, ta có:
\[
\frac{x^2 - 6x + 10}{x^2 - x + 2} > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}
\]

Vậy phân thức \(\frac{x^2 - 6x + 10}{x^2 - x + 2}\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của \(x\).