Để phương trình bậc hai có đúng một nghiệm, điều kiện cần thiết là discriminant (delta) của phương trình phải bằng 0.

Xét phương trình:

\[
x^2 + 2(m - 9)x + (m + 7(15 - 7m)) = 0
\]

Ta đặt:

- \( a = 1 \)
- \( b = 2(m - 9) \)
- \( c = m + 7(15 - 7m) = m + 105 - 49m = -48m + 105 \)

Delta (\( \Delta \)) của phương trình là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Tính delta:

\[
\Delta = [2(m - 9)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48m + 105)
\]

\[
\Delta = 4(m - 9)^2 + 192m - 420
\]

Để phương trình có đúng một nghiệm, ta giải phương trình:

\[
4(m - 9)^2 + 192m - 420 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 4:

\[
(m - 9)^2 + 48m - 105 = 0
\]

Mở rộng:

\[
m^2 - 18m + 81 + 48m - 105 = 0
\]

Gom lại:

\[
m^2 + 30m - 24 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
= \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 96}}{2} = \frac{-30 \pm \sqrt{996}}{2}
\]

\[
= \frac{-30 \pm 2\sqrt{249}}{2} = -15 \pm \sqrt{249}
\]

Vậy điều kiện cho \( m \) để phương trình có đúng một nghiệm là:

\[
m = -15 + \sqrt{249} \quad \text{hoặc} \quad m = -15 - \sqrt{249}
\]