Tìm điều kiện của \( m \) để phương trình sau có đúng một nghiệm

Để phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) có đúng một nghiệm, cần thỏa mãn điều kiện rằng discriminant (định thức) của nó bằng 0, tức là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 0
\]

Trong trường hợp của phương trình:

\[
x^2 + 2(m - 9)x + (m + 7(15 - 7m)) = 0
\]

Chúng ta xác định các hệ số như sau:

- \( a = 1 \)
- \( b = 2(m - 9) \)
- \( c = m + 7(15 - 7m) = m + 105 - 49m = -48m + 105 \)

Tính định thức:

\[
\Delta = [2(m - 9)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48m + 105)
\]

Tính \( \Delta \):

\[
\Delta = 4(m - 9)^2 + 4(48m - 105)
\]

Rút gọn:

\[
\Delta = 4[(m - 9)^2 + 48m - 105]
\]

Để phương trình có đúng một nghiệm, ta cần \( \Delta = 0 \):

\[
(m - 9)^2 + 48m - 105 = 0
\]

Mở rộng và sắp xếp lại:

\[
m^2 - 18m + 81 + 48m - 105 = 0
\]
\[
m^2 + 30m - 24 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 96}}{2}
\]
\[
= \frac{-30 \pm \sqrt{996}}{2}
\]

Tính nghiệm:

\[
\sqrt{996} = \sqrt{4 \cdot 249} = 2\sqrt{249}
\]

Do đó,

\[
m = \frac{-30 \pm 2\sqrt{249}}{2}
\]
\[
= -15 \pm \sqrt{249}
\]

Kết quả:

Phương trình có đúng một nghiệm khi \( m = -15 + \sqrt{249} \) hoặc \( m = -15 - \sqrt{249} \).