Cho tam giác ABC, lấy điểm M tùy ý. Vẽ MD ⊥ BC (D ∈ BC), ME ⊥ AC (E ∈ AC). MF ⊥ AB (F ∈ AB)

Để chứng minh các hệ thức trong bài toán, chúng ta sử dụng định lý Pythagore và tính chất của tam giác vuông.

### Chứng minh phần (a):

1. **Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \( \triangle MAF \):
\[
AF^2 = MA^2 + MF^2
\]
- Trong tam giác vuông \( \triangle MBD \):
\[
BD^2 = MB^2 + MD^2
\]
- Trong tam giác vuông \( \triangle MCE \):
\[
CE^2 = MC^2 + ME^2
\]

2. **Cộng các phương trình lại:**
\[
AF^2 + BD^2 + CE^2 = (MA^2 + MF^2) + (MB^2 + MD^2) + (MC^2 + ME^2)
\]
Nhóm lại, ta có:
\[
= MA^2 + MB^2 + MC^2 + (MF^2 + MD^2 + ME^2)
\]

3. **Sắp xếp lại để hoàn thành chứng minh:**
\[
AF^2 + BD^2 + CE^2 = (MA^2 + MB^2 + MC^2) - (MD^2 + ME^2 + MF^2)
\]

### Chứng minh phần (b):

1. **Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông ở phần (b):**
- Trong \( \triangle MAF \):
\[
AF^2 = MA^2 + MF^2
\]
- Trong \( \triangle MBD \):
\[
BD^2 = MB^2 + MD^2
\]
- Trong \( \triangle MCE \):
\[
CE^2 = MC^2 + ME^2
\]

2. **Tương tự, tổng các phương trình lại:**
\[
AF^2 + BD^2 + CE^2 = (MA^2 + MF^2) + (MB^2 + MD^2) + (MC^2 + ME^2)
\]

3. **Cộng thêm độ dài các đoạn thẳng còn lại:**
Áp dụngPythagore cho các triangle còn lại:
- \( AE^2 = AM^2 + ME^2 \)
- \( BF^2 = BM^2 + MF^2 \)
- \( CD^2 = CM^2 + MD^2 \)

4. **Sắp xếp và đưa vào dạng mong muốn:**
\[
AF^2 + BD^2 + CE^2 = AE^2 + BF^2 + CD^2
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được các hệ thức cần chứng minh trong bài toán.