Để chứng minh rằng nghiệm \( n = 5 \) không thỏa mãn với mọi số nguyên dương \( x, y, z \) trong phương trình Fermat:

\[
x^n + y^n = z^n
\]

trong trường hợp này là \( n = 5 \), chúng ta có thể sử dụng Định lý cuối của Fermat, một định lý cho rằng không có ba số nguyên dương \( x, y, z \) thỏa mãn phương trình \( x^n + y^n = z^n \) với \( n > 2 \).

Định lý này đã được chứng minh bởi Andrew Wiles vào năm 1994 và nói rằng đối với mọi số nguyên dương \( n \) lớn hơn 2, không tồn tại các số nguyên dương \( x, y, z \) thỏa mãn phương trình trên.

Do đó, khi \( n = 5 \), ta có thể kết luận rằng không tồn tại các số nguyên dương \( x, y, z \) nào thỏa mãn phương trình

\[
x^5 + y^5 = z^5
\]

Điều này chứng minh rằng nghiệm \( n = 5 \) không thỏa mãn với mọi \( x, y, z \).