Để giải bài tập này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

### Bài 6:
1) **Tính BC, DB, DC:**
- Đầu tiên, dùng định lý Pythagore để tính độ dài cạnh BC trong tam giác vuông ABC:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

- Để tính các đoạn DB và DC mà đường phân giác cắt BC tại D. Ta dùng định lý phân giác:
\[
\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}
\]
Gọi \( DB = 3k \) và \( DC = 4k \), với \( DB + DC = BC \), ta có:
\[
3k + 4k = 5 \Rightarrow 7k = 5 \Rightarrow k = \frac{5}{7}
\]
Vậy:
\[
DB = 3k = \frac{15}{7} \text{ cm} \quad \text{và} \quad DC = 4k = \frac{20}{7} \text{ cm}
\]

2) **Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD, AD:**
- Đường cao AH trong tam giác vuông ABC được tính bằng:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} \text{ cm}
\]
- Ta cần tính HD và AD.
- Theo định lý Pythagore trong tam giác AHD:
\[
AD = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{3^2 - \left(\frac{12}{5}\right)^2} = \sqrt{9 - \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{225 - 144}{25}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5} \text{ cm}
\]
- Ta có:
\[
HD = AH - AD = \frac{12}{5} - \frac{9}{5} = \frac{3}{5} \text{ cm}
\]

### Bài 7:
Ta sẽ chứng minh rằng \( PQ \parallel BC \) bằng cách sử dụng tính chất của các đường phân giác.

- Theo định lý đường phân giác:
\[
\frac{AP}{PB} = \frac{AM}{MC} \quad \text{và} \quad \frac{AQ}{QC} = \frac{AM}{MB}
\]
Gọi \( AP = x \), \( PB = y \) và \( AQ = m \), \( QC = n \), ta có:

- Theo tính chất đường phân giác, ta có:
\[
\frac{x}{y} = \frac{AM}{MC} \quad \text{và} \quad \frac{m}{n} = \frac{AM}{MB}
\]
Từ đó, suy ra:
\[
\frac{x}{y} = \frac{m}{n} \\
\Rightarrow \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}
\]

- Vì tỉ lệ này được chia đều giữa các đoạn, theo tính chất của hình thang:
\[
PQ \parallel BC
\]

Như vậy, ta đã hoàn thành việc giải bài tập trên!