a) Để rút gọn biểu thức \( 2x \cdot (3x - 4) - 5x \cdot (2x - 6) \), ta sẽ làm như sau:

1. Tính từng thành phần:
\[
2x \cdot (3x - 4) = 6x^2 - 8x
\]
\[
5x \cdot (2x - 6) = 10x^2 - 30x
\]

2. Thay vào biểu thức:
\[
6x^2 - 8x - (10x^2 - 30x)
\]
(chú ý dấu trừ trước \( 5x \cdot (2x - 6) \))

3. Mở dấu ngoặc:
\[
6x^2 - 8x - 10x^2 + 30x
\]

4. Gộp các hạng tử:
\[
(6x^2 - 10x^2) + (-8x + 30x) = -4x^2 + 22x
\]

Vậy biểu thức rút gọn là:
\[
-4x^2 + 22x
\]

b) Để tìm đơn thức \( A \) sao cho \( \frac{A}{4} \cdot xy = -\frac{1}{2} \cdot x^2 \), ta có thể làm như sau:

1. Nhân hai bên của phương trình với 4:
\[
A \cdot xy = -2x^2
\]

2. Sau đó, để tìm \( A \), ta chia cả hai bên cho \( xy \):
\[
A = \frac{-2x^2}{xy}
\]

3. Rút gọn:
\[
A = -2 \cdot \frac{x^2}{xy} = -2 \cdot \frac{x}{y}
\]

Vậy \( A = -\frac{2x}{y} \).

c) Để tìm thương của phép chia sau:
\[
\frac{9x^3 \cdot (x^2 - 1) - 6x^2 \cdot (x^2 - 1)^2 + 12x \cdot (x^2 - 1)}{3x(x^2 - 1)}
\]

1. Đầu tiên, ta có thể dễ dàng nhận thấy \( (x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1) \).

2. Tính phần tử trên tử:
- Cụ thể tính từng thành phần:
\[
9x^3 \cdot (x^2 - 1) = 9x^3(x^2 - 1)
\]
\[
-6x^2 \cdot (x^2 - 1)^2 = -6x^2(x^2 - 1)(x^2 - 1)
\]
\[
12x \cdot (x^2 - 1) = 12x(x^2 - 1)
\]

3. Gộp lại thành phần tử trong tử:
Chúng ta không cần tính cụ thể vì cuối cùng ta chỉ cần chia cho \( 3x(x^2 - 1) \).

4. Chia mỗi hạng tử trong tử cho \( 3x(x^2 - 1) \):

Gọi biểu thức tử là \( T \):
\[
T = 9x^3(x^2 - 1) - 6x^2(x^2 - 1)^2 + 12x(x^2 - 1)
\]

Ta sẽ lấy \( T \) chia cho \( 3x(x^2 - 1) \):
\[
\frac{T}{3x(x^2 - 1)}
\]

Vậy bây giờ chỉ cần xác định lại giá trị cuối cùng. Các hạng tử sẽ phân thành:
- Hạng tử đầu: \( \frac{9x^2}{3} \) = \( 3x^2 \)
- Hạng tử giữa: \( \frac{-6x(x^2 - 1)}{3} = -2x \cdot (x - 1) \)
- Hạng tử cuối: \( \frac{12(x^2 - 1)}{3} = 4(x - 1) \)

Kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào việc biểu thức \( T \) có thể gọn lại được hay không nhưng chúng ta có:
\[
\text{Thương} = 3x^2 - 2x + 4
\]

Hai người giám hộ giải giúp tôi nếu cần thêm thông tin không.