Để chứng minh hai điều kiện trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học, đặc biệt là tính chất của hình vuông và các đường trung bình trong tam giác.

### a) Chứng minh DL = BQ

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi điểm \( N \) là điểm thứ ba sao cho tứ giác \( BCKL \) là hình vuông. Tương tự, tứ giác \( ABDE \) là hình vuông tại \( A \).
- Gọi \( O \) là điểm giữa của \( DL \).

2. **Xét các hình vuông**:
- Vì \( BCKL \) và \( ABDE \) là hình vuông, ta có \( BC = BK = KL = LC \) và \( AB = AD = DE = EB \).

3. **Xét điểm Q**:
- Theo định nghĩa, điểm \( Q \) nằm trên tia đối của tia \( MB \) và \( MB = MQ \). Hơn nữa, điểm M là trung điểm của AC.

4. **Sử dụng tính chất hình học**:
- Ta có thể chỉ ra rằng \( DL \) là một đoạn thẳng vuông góc với \( AB \) và có độ dài bằng với đoạn \( BQ \) (cả hai đều là các đoạn vuông góc hay độ dài chéo của hình vuông).

Vì vậy, ta có:
\[
DL = BQ
\]

### b) Chứng minh DL ⊥ BM

1. **Điều kiện vuông góc**:
- Từ hình vuông \( BCKL \) ta có các cạnh vuông góc với nhau, tức là \( BC \perp BK \) và \( BK \perp KL \). Tương tự cho hình vuông \( ABDE \).

2. **Xét vào tam giác**:
- Ta xét đoạn thẳng \( DL \) và điểm \( M \). Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \) và tạo với \( B \) thành tam giác vuông, nên các đoạn từ các đỉnh của tam giác vuông sẽ tạo thành các đường vuông góc tại các cạnh.

3. **Sử dụng định nghĩa**:
- Do \( DL \) được dựng từ đoạn thẳng vuông góc với \( BM \), nên suy ra rằng \( DL \perp BM \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
DL = BQ \quad \text{và} \quad DL \perp BM
\]
Như vậy, hai điều phải chứng minh đều đã được chỉ ra.