Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần đã được yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Phương trình \( x^2 - mx + (m-1) = 0 \) có nghiệm khi và chỉ khi delta (\( \Delta \)) của nó không âm. Tính delta của phương trình này:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) = m^2 - 4(m - 1)
\]

Tính tiếp delta:

\[
\Delta = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2
\]

Để phương trình có nghiệm, ta cần \( \Delta \geq 0 \). Vì \( (m - 2)^2 \) luôn không âm (vì là bình phương của một số thực), do đó \( \Delta \geq 0 \) với mọi giá trị của \( m \).

Vì vậy, phương trình luôn có nghiệm với mọi \( m \).

### b) Tìm m để biểu thức \( M = x_1^2 + x_2^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có \( x_1 \) và \( x_2 \) là các nghiệm của phương trình bậc hai. Khi \( x_1 + x_2 = m \) và \( x_1 x_2 = m - 1 \) (theo định lý Viète), ta có thể tính \( M \) như sau:

\[
M = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = m^2 - 2(m - 1) = m^2 - 2m + 2
\]

Bây giờ ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Đây là một hàm bậc hai \( M(m) = m^2 - 2m + 2 \) mà có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = 1, b = -2 \).

Hàm bậc hai này đạt trị nhỏ nhất tại \( m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \).

Thay \( m = 1 \) vào công thức của \( M \):

\[
M(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1
\]

Do đó:

- **Giá trị nhỏ nhất của \( M \) là 1, đạt được khi \( m = 1 \)**.

Tóm lại:

- a) Phương trình luôn có nghiệm với mọi \( m \).
- b) Giá trị nhỏ nhất của \( M = x_1^2 + x_2^2 \) là 1 và đạt được khi \( m = 1 \).