Để biểu diễn các tỉ số lượng giác của góc nhọn \( \alpha \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông và độ lớn của góc \( \alpha \) là \( \angle ABC \), ta có thể xác định các tỉ số lượng giác như sau:

### a) Các tỉ số lượng giác:
1. **Tỉ số tang (tan):**
\[
\tan \alpha = \frac{BC}{AB}
\]

2. **Tỉ số cotang (cot):**
\[
\cot \alpha = \frac{AB}{BC}
\]

3. **Tỉ số sin:**
\[
\sin \alpha = \frac{BC}{CA}
\]

4. **Tỉ số cos:**
\[
\cos \alpha = \frac{AB}{CA}
\]

### b) Chứng minh các mối quan hệ:
1. **Mối quan hệ \( \tan \alpha \) và \( \cot \alpha \):**
\[
\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1
\]

2. **Mối quan hệ giữa sin và cos:**
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

3. **Mối quan hệ với tan:**
\[
\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha
\]

4. **Mối quan hệ với cot:**
\[
\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \cot^2 \alpha
\]

Các tỉ số lượng giác trên được xác định dựa trên định nghĩa của chúng trong tam giác vuông và từ đó có thể suy ra các mối quan hệ.