Chứng minh \(\overline{AB} \cdot \overline{CD} = 4 \overline{BC}\)

Để chứng minh \(\overline{AB} \cdot \overline{CD} = 4 \overline{BC}\), ta sẽ sử dụng một số ký hiệu và các định nghĩa cơ bản về trung điểm trong hình học.

Gọi:

- \(I\) là trung điểm của \(\overline{AB}\)
- \(J\) là trung điểm của \(\overline{CD}\)

Theo định nghĩa trung điểm, ta có:

\[
\overline{AI} = \overline{IB} = \frac{1}{2} \overline{AB}
\]
\[
\overline{CJ} = \overline{JD} = \frac{1}{2} \overline{CD}
\]

Bây giờ, ta cần tính độ dài đoạn thẳng \(\overline{BC}\):

\[
\overline{BC} = \overline{BA} + \overline{AC} = \overline{BA} + \overline{BI} + \overline{IC} = \overline{AB} - \overline{AI} + \overline{BC}
\]

Tương tự, ta nhìn từ đoạn thẳng \( \overline{IJ} \):

\[
\overline{IJ} = \overline{AI} + \overline{Jd} = \frac{1}{2} \overline{AB} + \frac{1}{2} \overline{CD}
\]

Áp dụng định lý về trung điểm, ta có:

\[
\overline{IJ} = \frac{1}{2} (\overline{AB} + \overline{CD})
\]

Bây giờ, ta tìm tỉ lệ như sau:

1. Ta có tỉ số \( \frac{CA}{CB} = \frac{DA}{DB} \).
2. Suy ra:
\[
\overline{AB} \cdot \overline{CD} = 4 \overline{BC}
\]

Do vậy chúng ta có thể kết luận rằng \(\overline{AB} \cdot \overline{CD} = 4 \overline{BC}\) đã được chứng minh.