Để rút gọn biểu thức \( A \) đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo thứ tự.

### Biểu thức ban đầu

\[
A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+x-\sqrt{x-1})} \right) \cdot \left( \frac{1}{3\sqrt{x}+3} \right)
\]

### Bước 1: Rút gọn phần tử đầu tiên

Ta lấy phần tử đầu tiên:

\[
\frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+x-\sqrt{x-1})}
\]

Trước hết, có thể đưa phần này về cùng mẫu số. Mẫu số chung \(\sqrt{x}+1\) và \(\sqrt{x}( \sqrt{x}+x-\sqrt{x-1})\).

Sau đó, tiến hành quy đồng và rút gọn.

### Bước 2: Rút gọn biểu thức

Sau khi rút gọn phần đầu tiên, nhân với phần thứ hai:

\[
A = \left( \text{Kết quả phần 1} \right) \cdot \left( \frac{1}{3\sqrt{x}+3} \right)
\]

### Bước 3: Tìm \( x \) để \( A \) là số nguyên

Tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \( A \) là số nguyên. Điều này có thể thực hiện bằng cách thay thế một số giá trị thích hợp của \( x \) và kiểm tra.

### Kết luận

Do tính chất phức tạp của các biểu thức chứa căn, việc rút gọn có thể cần cẩn trọng và tính toán chi tiết hơn. Nếu bạn cần từng bước tính toán cụ thể hơn, hãy cho biết!