Cho hàm số \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) với \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) có đồ thị hàm số \( y = f'(x) \) nhận \( x = -1 \) làm tiếp cận đứng như hình vẽ bên. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-3; -2]\) bằng 8

Để giải bài toán này, ta cần phân tích hàm số \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) và các thông tin đã cho.

1. **Điều kiện có tiếp cận đứng tại \( x = -1 \)**:
Để hàm số có tiếp cận đứng tại \( x = -1 \), mẫu số phải bằng 0 tại điểm này, nghĩa là:
\[
c(-1) + d = 0 \implies d = -c.
\]

2. **Thay vào hàm số**:
Ta có:
\[
f(x) = \frac{ax + b}{cx - c} = \frac{ax + b}{c(x + 1)}.
\]

3. **Tìm đạo hàm \( f'(x) \)**:
Sử dụng quy tắc chia, đạo hàm của \( f(x) \) là:
\[
f'(x) = \frac{(c(x + 1))(a) - (ax + b)(c)}{(c(x + 1))^2} = \frac{ac}{(c(x + 1))^2} - \frac{c(ax + b)}{(c(x + 1))^2}.
\]
Cách khác để tính \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{ac - (ca)x - cb}{(cx - c)^2}.
\]

4. **Điều kiện đạo hàm**:
Xét đạo hàm tại \( x = 0 \):
\[
f'(0) = \frac{ac - cb}{(-c)^2} = \frac{ac - cb}{c^2}.
\]

5. **Giá trị lớn nhất trên đoạn \([-3; -2]\)**:
Cho biết rằng giá trị lớn nhất của \( y = f(x) \) trên đoạn \([-3, -2]\) bằng 8. Từ đó, ta có:
\[
\max_{x \in [-3, -2]} f(x) = 8.
\]

6. **Chọn ra các đáp án**:
- **a)** \( f'(0) = 3 \): Có thể áp dụng công thức,
- **b)** \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \((-1; +\infty)\): Ta cần kiểm tra dấu của \( f'(x) \).
- **c)** Giá trị của \( f(-3) \) bằng 8: Có thể là đúng nếu đạt giá trị lớn nhất.
- **d)** Giá trị của \( f(2) \) bằng 4: Cần tính toán cụ thể.

Bắt đầu từ đây, hãy tính toán để diễn giải cụ thể cho từng câu hỏi.

**Các giá trị cụ thể cần kiểm tra**:
- **Giá trị tại \( f(-3) \) và \( f(-2) \)** để xác định lớn nhất.
- **Giá trị đạo hàm tại 0**.

Tùy theo từng dữ kiện mà kiểm tra, sẽ tìm ra đúng lựa chọn cho mỗi câu hỏi a, b, c, d.