Tìm ƯCLN (A,B) biết rằng A là số gồm 1991 chữ số 2, B là số gồm 8 chữ số 2

Để tìm ƯCLN (A, B) với \( A \) là số gồm 1991 chữ số 2 và \( B \) là số gồm 8 chữ số 2, chúng ta phải xác định các số này chính xác.

### Bước 1: Xác định số A và B
- Số \( A \) gồm 1991 chữ số 2 có thể được viết dưới dạng:
\[
A = 222...2 \quad (\text{1991 chữ số 2}) = 2 \times 10^{1990} + 2 \times 10^{1989} + \ldots + 2 \times 10^0 = 2 \times (10^{1990} + 10^{1989} + \ldots + 10^0)
\]
Công thức tổng của một cấp số cộng:
\[
S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)} \Rightarrow S = 10^{1991} - 1 \text{ (vì A có 1991 chữ số)}
\]
Do đó:
\[
A = 2 \left(\frac{10^{1991} - 1}{9}\right)
\]

- Số \( B \) gồm 8 chữ số 2 có thể được viết là:
\[
B = 22222222 = 2 \times 10^7 + 2 \times 10^6 + \ldots + 2 \times 10^0 = 2 \left(\frac{10^8 - 1}{9}\right)
\]

### Bước 2: Tìm ƯCLN(A, B)
Để tìm ƯCLN(A, B), chúng ta có thể sử dụng tính chất của ƯCLN:
\[
\text{GCD}(x \cdot m, y \cdot n) = x \cdot \text{GCD}(m, n)
\]
cho các số nguyên \( x \) và \( y \).

- Từ \( A \) và \( B \), có thể nhận thấy rằng \( A \) và \( B \) đều được nhân với 2, do đó:
\[
GCD(A, B) = 2 \cdot GCD\left(\frac{A}{2}, \frac{B}{2}\right)
\]
với:
\[
\frac{A}{2} = \frac{10^{1991} - 1}{9}, \quad \frac{B}{2} = \frac{10^8 - 1}{9}
\]

### Bước 3: Tính GCD(…) giữa hai số
Ta chỉ cần tính:
\[
GCD\left(\frac{10^{1991} - 1}{9}, \frac{10^8 - 1}{9}\right)
\]
Chúng ta biết rằng:
\[
GCD(10^m - 1, 10^n - 1) = 10^{GCD(m, n)} - 1
\]
Với \( m = 1991 \) và \( n = 8 \). Ta cần tính \( GCD(1991, 8) \).

- Sử dụng thuật toán Euclid:
\[
1991 \mod 8 = 7 \quad \Rightarrow \quad 1991 = 8 \cdot 248 + 7
\]
\[
8 \mod 7 = 1 \quad \Rightarrow \quad 8 = 7 \cdot 1 + 1
\]
\[
7 \mod 1 = 0
\]
Suy ra \( GCD(1991, 8) = 1 \).

### Bước 4: Áp dụng kết quả vào GCD
Vậy:
\[
GCD(10^{1991} - 1, 10^8 - 1) = 10^{GCD(1991, 8)} - 1 = 10^1 - 1 = 9
\]

Cuối cùng, ta có:
\[
GCD(A, B) = 2 \cdot GCD\left(\frac{10^{1991} - 1}{9}, \frac{10^8 - 1}{9}\right) = 2 \cdot 1 = 2
\]

### Kết luận
Tìm được ƯCLN(A, B):
\[
\text{ƯCLN}(A, B) = 2
\]