Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( 3n + 5 \) chia hết cho \( 2n - 1 \), ta sẽ viết điều kiện chia hết là:

\[
3n + 5 \equiv 0 \ (\text{mod } 2n - 1)
\]

Điều này có nghĩa là ta cần tìm \( n \) sao cho:

\[
3n + 5 = k(2n - 1)
\]

với \( k \) là một số nguyên nào đó.

Ta có thể rearrange phương trình:

\[
3n + 5 = 2kn - k
\]

=>

\[
3n - 2kn = -k - 5
\]

=>

\[
n(3 - 2k) = -k - 5
\]

=>

\[
n = \frac{-k - 5}{3 - 2k}
\]

Ta sẽ cần đảm bảo rằng \( n \) phải là một số tự nhiên, tức là \( n \geq 0 \) và \( 3 - 2k \) phải khác 0 (tức là \( k \neq \frac{3}{2} \)).

Ta sẽ thử một vài giá trị của \( k \) để tìm ra các giá trị của \( n \):

1. **Khi \( k = 0 \)**:
\[
n = \frac{-0 - 5}{3 - 0} = \frac{-5}{3} \text{ (không phải số tự nhiên)}
\]

2. **Khi \( k = -1 \)**:
\[
n = \frac{-(-1) - 5}{3 - 2(-1)} = \frac{1 - 5}{3 + 2} = \frac{-4}{5} \text{ (không phải số tự nhiên)}
\]

3. **Khi \( k = 1 \)**:
\[
n = \frac{-1 - 5}{3 - 2} = \frac{-6}{1} = -6 \text{ (không phải số tự nhiên)}
\]

4. **Khi \( k = 2 \)**:
\[
n = \frac{-2 - 5}{3 - 4} = \frac{-7}{-1} = 7 \text{ (là số tự nhiên)}
\]

5. **Khi \( k = 3 \)**:
\[
n = \frac{-3 - 5}{3 - 6} = \frac{-8}{-3} \text{ (không phải số tự nhiên)}
\]

Từ các thử nghiệm trên, hiện tại chỉ có \( k = 2 \) cho ra giá trị \( n = 7 \), và chúng ta kiểm tra lại:

Khi \( n = 7 \):
\[
3n + 5 = 3(7) + 5 = 21 + 5 = 26
\]
\[
2n - 1 = 2(7) - 1 = 14 - 1 = 13
\]
Ta thấy \( 26 \div 13 = 2 \) (chia hết).

Vậy \( n = 7 \) là một nghiệm.

Do đó, số tự nhiên \( n \) mà \( 3n + 5 \) chia hết cho \( 2n - 1 \) là \( n = 7 \).