Để chứng minh rằng tổng \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \ldots + 2^{2020} \) chia hết cho 6, ta sẽ tính tổng này và kiểm tra tính chia hết cho 6.

Tổng \( S \) là một chuỗi số mũ, và có thể tính bằng công thức tổng của chuỗi số mũ:

\[
S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2020} = 2(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{2019})
\]
\[
= 2 \left( \frac{2^{2020} - 1}{2 - 1} \right) = 2(2^{2020} - 1) = 2^{2021} - 2
\]

Vậy, \( S = 2^{2021} - 2 \).

Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra tính chia hết của \( S \) cho 6. Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra chia hết cho 2 và 3.

1. **Chia hết cho 2**:
Rõ ràng \( S = 2^{2021} - 2 \) chia hết cho 2 vì cả hai thành phần đều chia hết cho 2.

2. **Chia hết cho 3**:
Ta sẽ tính \( S \mod 3 \):
- Khi \( n \equiv 0 \mod 3 \): \( 2^0 \equiv 1 \)
- Khi \( n \equiv 1 \mod 3 \): \( 2^1 \equiv 2 \)
- Khi \( n \equiv 2 \mod 3 \): \( 2^2 \equiv 1 \)

Ta thấy rằng \( 2^n \mod 3 \) sẽ chu kỳ 2: \( 1, 2 \).

Tổng số hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^{2020} \) có 2020 số hạng:
- Số hạng \( 2^{3k} \) và \( 2^{3k+2} \) sẽ cho kết quả là 1, và số hạng \( 2^{3k+1} \) sẽ cho kết quả là 2.

Đếm số lượng các số hạng:
- Số hạng chia hết cho 3 (có dạng \( 3k \)): \( 2^3, 2^6, \ldots, 2^{2019} \) có tổng cộng \( \frac{2020 - 3}{3} + 1 = 673 \) số hạng.
- Số hạng có dạng \( 3k + 1 \): \( 2^1, 2^4, \ldots, 2^{2020} \) có tổng cộng \( 673 \) số hạng.
- Số hạng có dạng \( 3k + 2 \): \( 2^2, 2^5, \ldots, 2^{2018} \) có tổng cộng \( 673 \) số hạng.

Vì vậy tổng tất cả các số hạng là:
- Có 673 số hạng \( \equiv 1\) và 673 số hạng \( \equiv 2 \).
- Tính tổng modulo 3: \( 673 \cdot 1 + 673 \cdot 2 \equiv 673 + 1346 \equiv 2019 \equiv 0 \mod 3\).

Như vậy, \( S \equiv 0 \mod 2 \) và \( S \equiv 0 \mod 3 \) nên theo nguyên lý số học, \( S \equiv 0 \mod 6\).

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng tổng \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2020} \) chia hết cho 6.