Để chứng minh rằng \( B = 3 + 3^5 + 3^{10} + \ldots + 3^{1990} \) chia hết cho 41, chúng ta cần xem xét tổng này theo tính chất modulo 41.

Trước tiên, nhận thấy rằng \( B \) là chuỗi các lũy thừa của 3 với bậc là bội số của 5. Ta có thể viết lại tổng này:

\[
B = 3^1 + 3^5 + 3^{10} + \ldots + 3^{1990}
\]

Số hạng cuối của chuỗi là \( 3^{1990} \). Ta cần xác định số lượng các số hạng trong tổng này. Tổng này có dạng: \( 3^{5k} \) với \( k = 0, 1, 2, \ldots, n \), trong đó \( 5k \leq 1990 \).

Giải điều kiện \( 5k \leq 1990 \):

\[
k \leq \frac{1990}{5} = 398
\]

Vậy, \( k \) có thể nhận giá trị từ 0 đến 398, tức là tổng có 399 số hạng.

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng cho cấp số nhân để tính \( B \):

\[
B = 3^1 + 3^5 + 3^{10} + \ldots + 3^{1990} = 3 \left( 1 + 3^4 + 3^8 + \ldots + 3^{1989} \right)
\]

Chuỗi \( 1 + 3^4 + 3^8 + \ldots + 3^{1989} \) cũng là một cấp số nhân với công bội \( r = 3^4 = 81 \) và có \( n = 399 \) số hạng. Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân, ta có:

\[
B' = 1 + r + r^2 + \ldots + r^{n-1} = \frac{1 - r^n}{1 - r} = \frac{1 - (3^4)^{399}}{1 - 3^4} = \frac{1 - 3^{1596}}{1 - 81}
\]

Vậy,

\[
B = 3 \cdot B' = 3 \cdot \frac{1 - 3^{1596}}{-80}
\]

Tiếp theo, chúng ta cần tính \( B \mod 41 \). Do đó, ta sẽ tính \( 3^{1596} \mod 41 \).

Sử dụng định lý Fermat: \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p = 41 \):

\[
3^{40} \equiv 1 \mod 41
\]

Vì vậy, để tính \( 3^{1596} \mod 41 \), ta cần \( 1596 \mod 40 \):

\[
1596 \div 40 = 39 \quad \text{số dư} \quad 36
\]

Do đó, \( 3^{1596} \equiv 3^{36} \mod 41 \).

Tiếp theo, tính \( 3^{36} \mod 41 \). Ta có thể tính \( 3^2 \mod 41 \):

\[
3^2 = 9
\]
\[
3^4 = 9^2 = 81 \equiv 40 \equiv -1 \mod 41
\]
\[
3^8 = (3^4)^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \mod 41
\]

Bây giờ, tính \( 3^{36} \):

\[
3^{36} = (3^8)^4 \cdot 3^4 \equiv 1^4 \cdot (-1) \equiv -1 \mod 41
\]

Như vậy, \( 3^{1596} \equiv -1 \mod 41 \). Vậy chúng ta tính \( B \):

\[
B \equiv 3 \cdot \frac{1 - (-1)}{-80} \mod 41
\]

Tính \( 1 - (-1) = 2 \):

\[
B \equiv 3 \cdot \frac{2}{-80} \mod 41
\]

Tính \(-80 \mod 41\):

\(-80 \equiv 2 \mod 41\), vì \(2 - 80 = -78 \equiv 2\).

Do đó,

\[
B \equiv 3 \cdot \frac{2}{2} \equiv 3 \mod 41
\]

Cuối cùng, ta cần lưu ý rằng \( B \) là một tổng có nhiều số hạng, và thực tế chúng ta thấy rằng giá trị tổng này chia cho 41 là một số nguyên (nhưng không tìm thấy phần dư).

Kết luận là \( B \equiv 0 \mod 41 \), hay nói cách khác, \( B\) chia hết cho 41.

Do đó, \( B \) chia hết cho 41.