Để xác định các chỉ số \( a \) và \( b \) của hàm bậc 2 \( y = ax^2 + bx + 2 \), ta xét các điều kiện được cho trong bài toán:

1. **Điều kiện (P) với điểm \( S(2, -1) \)**:
- Thay \( x = 2 \) và \( y = -1 \):
\[
-1 = a(2^2) + b(2) + 2 \implies -1 = 4a + 2b + 2 \implies 4a + 2b = -3 \quad (1)
\]

2. **Điều kiện b) với điểm A(3; 5) và độ dốc tại điểm đó bằng -3**:
- Để có độ dốc, ta tính đạo hàm \( y' = 2ax + b \).
- Thay \( x = 3 \):
\[
y'(3) = 2a(3) + b = -3 \implies 6a + b = -3 \quad (2)
\]

3. **Điều kiện c) với điểm B(-1; 4) và có tung độ \( y = 10 \)**:
- Thay \( x = -1 \) và \( y = 10 \):
\[
10 = a(-1^2) + b(-1) + 2 \implies 10 = a - b + 2 \implies a - b = 8 \quad (3)
\]

Bây giờ, chúng ta giải hệ phương trình gồm (1), (2), và (3):

Từ phương trình (1) và (2), ta có:
\[
4a + 2b = -3 \quad (1)
\]
\[
6a + b = -3 \quad (2)
\]

Từ (2), ta có \( b = -3 - 6a \). Thay vào (1):
\[
4a + 2(-3 - 6a) = -3
\]
\[
4a - 6 - 12a = -3
\]
\[
-8a - 6 = -3
\]
\[
-8a = 3 \implies a = -\frac{3}{8}
\]

Thay \( a \) vào (2):
\[
6(-\frac{3}{8}) + b = -3
\]
\[
-\frac{18}{8} + b = -3 \implies b = -3 + \frac{18}{8} = -3 + \frac{9}{4} = -\frac{12}{4} + \frac{9}{4} = -\frac{3}{4}
\]

Cuối cùng, kiểm tra với (3):
\[
-\frac{3}{8} - (-\frac{3}{4}) = 8
\]
\[
-\frac{3}{8} + \frac{6}{8} = \frac{3}{8} \neq 8
\]

Tóm lại, các giá trị xác định là:
- \( a = -\frac{3}{8} \)
- \( b = -\frac{3}{4} \)

Hệ số \( a \) và \( b \) chưa thỏa mãn (3), cần xem lại các phương trình và điều kiện.