Để tìm \( x \in \mathbb{N} \) sao cho biểu thức \( M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} \) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, ta sẽ phân tích như sau:

### 1. Xác định miền xác định
Để \( M \) có nghĩa, điều kiện \( x - 1 > 0 \) cần được thỏa mãn, tức là:
\[
x > 1
\]
Do đó, \( x \) có thể nhận các giá trị trong tập hợp \( \{2, 3, 4, \ldots\} \).

### 2. Tính giá trị của \( M \)
Tính \( M \) cho các giá trị \( x \):
- Khi \( x = 2 \):
\[
M(2) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} = \sqrt{2} \approx 1.414
\]

- Khi \( x = 3 \):
\[
M(3) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \approx 1.224
\]

- Khi \( x = 4 \):
\[
M(4) = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155
\]

- Khi \( x = 5 \):
\[
M(5) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118
\]

### 3. Phân tích
Từ các giá trị trên, có thể thấy rằng:
- \( M(2) \) là giá trị lớn nhất và cũng là giá trị nhỏ nhất trong miền xác định vì khi \( x \) tăng lên, giá trị của \( M \) giảm.

### 4. Kết luận
- \( x = 2 \) để \( M \) đạt giá trị lớn nhất.
- Khi \( x \to \infty \), \( M \) sẽ nhỏ dần và tiến tới 1, do đó nếu nhận thấy giá trị nhỏ nhất của \( M \) sẽ không đạt được giá trị cụ thể nào trong miền \( x \to \infty \).

Do đó:
- a) Giá trị lớn nhất của \( M \) là \( \sqrt{2} \) khi \( x = 2 \).
- b) \( M \) không có giá trị nhỏ nhất cụ thể vì nó có xu hướng giảm về x = 1, nhưng sẽ tiến tới 1 khi \( x \to \infty \).