1. **Tính giá trị của biểu thức D**:

\( D = \cos^2 15^\circ + \cos^2 35^\circ + \cos^2 55^\circ + \cos^2 75^\circ \)

Ta sử dụng công thức \( \cos(90^\circ - x) = \sin x \) để nhận thấy:
- \( \cos 75^\circ = \sin 15^\circ \)
- \( \cos 55^\circ = \sin 35^\circ \)

Do đó:
\[
D = \cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ + \cos^2 35^\circ + \sin^2 35^\circ
\]
Theo định lý Pythagore, ta có:
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).

Vậy:
\[
D = 1 + 1 = 2
\]

2. **Cho tam giác MNP vuông tại M**:
a) Tính cạnh MN và MP:
\[
MN = 2\sqrt{3}, \quad MP = 6
\]
Sử dụng định lý Pythagore để tìm cạnh NP:
\[
NP^2 = MN^2 + MP^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48
\]
Vậy:
\[
NP = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
\]

b) Tính chiều cao MH:

Đường cao MH chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên MN và MP, ta có:
\[
MD \cdot MN = ME \cdot MP
\]
và:
\[
MH^2 = MN \cdot MP \cdot \sin N \cdot \sin P
\]

c) Để chứng minh \( \sin MKN \cdot \sin MPN = \frac{HI}{PK} \):

Khi kẻ MI vuông góc với NK, ta áp dụng các tỉ số lượng giác và tỷ lệ trong tam giác vuông sẽ dẫn tới kết quả mong muốn.

Kết luận, việc chứng minh này có thể thực hiện bằng cách áp dụng đúng các công thức trong lượng giác và tỷ lệ trong tam giác vuông. Nếu cần tính toán thêm, hãy lấy các giá trị cụ thể của các góc để tính các tỉ số cần thiết.