Để giải phương trình \(a^b + b^a = 2169\), chúng ta sẽ kiểm tra từng cặp số nguyên \( (a, b) \).

Dưới đây là một số bước để tìm ra các cặp \( (a, b) \):

1. **Kiểm tra các giá trị nhỏ của \(a\) và \(b\)**:
Ta sẽ thử các giá trị nguyên dương cho \(a\) và \(b\), và tính giá trị của \(a^b + b^a\) cho đến khi đạt hoặc vượt 2169.

2. **Tính toán**:
- Nếu \(a = 1\):
\[
1^b + b^1 = 1 + b = 2169 \implies b = 2168
\]
Vậy cặp \( (1, 2168) \) là một nghiệm.
Cặp này cũng có thể hoán đổi thành \( (2168, 1) \).

- Nếu \(a = 2\):
\[
2^b + b^2 = 2169
\]
Ta thử các giá trị của \(b\):
- \(b = 10\): \( 2^{10} + 10^2 = 1024 + 100 = 1124 \) (quá nhỏ)
- \(b = 11\): \( 2^{11} + 11^2 = 2048 + 121 = 2169 \) \( \Rightarrow (2, 11) \)
- Cặp hoán đổi \( (11, 2) \).

- Nếu \(a = 3\):
\[
3^b + b^3 = 2169
\]
- \(b = 6\): \( 3^6 + 6^3 = 729 + 216 = 945 \) (quá nhỏ)
- \(b = 7\): \( 3^7 + 7^3 = 2187 + 343 = 2530 \) (quá lớn)

- Nếu \(a = 4\):
\[
4^b + b^4 = 2169
\]
- Thử các giá trị \(b\): không tìm thấy nghiệm thỏa mãn.

- Tương tự thử nghiệm với các giá trị \(a \geq 5\): sẽ không tìm thấy giá trị hợp lệ nào khác.

3. **Kết luận**:
Các cặp nguyên \( (a, b) \) thỏa mãn phương trình \( a^b + b^a = 2169 \) là:
- \( (1, 2168) \)
- \( (2168, 1) \)
- \( (2, 11) \)
- \( (11, 2) \)

Vậy nghiệm của bài toán là:
\[
\{(1, 2168), (2168, 1), (2, 11), (11, 2)\}
\]