Để tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai biểu thức \( 9n + 4 \) và \( 2n - 1 \), chúng ta có thể sử dụng thuật toán Euclid. Theo thuật toán này, ƯCLN của hai số \( a \) và \( b \) có thể được tìm bằng cách tính ƯCLN của \( b \) và \( a \mod b \).

Đầu tiên, chúng ta có:

- \( a = 9n + 4 \)
- \( b = 2n - 1 \)

Bước đầu tiên là tính \( a \mod b \):

\[
9n + 4 = k(2n - 1) + r
\]

Chúng ta sẽ tìm giá trị của \( k \) sao cho \( r < b \).

1. Chọn \( k = 4 \) (vì \( 4 \cdot (2n - 1) = 8n - 4 \))
2. Tính toán:

\[
(9n + 4) - (8n - 4) = n + 8
\]

Vậy:

\[
9n + 4 \mod (2n - 1) = n + 8
\]

Bây giờ, chúng ta cần tính ƯCLN của \( 2n - 1 \) và \( n + 8 \).

Tiếp tục áp dụng thuật toán Euclid:

\[
l = 2n - 1
\]
\[
m = n + 8
\]

Tính \( l \mod m \):

\[
2n - 1 = k(n + 8) + r
\]

Chọn \( k = 2 \):

\[
(2n - 1) - 2(n + 8) = 2n - 1 - 2n - 16 = -17
\]

Vậy:

\[
2n - 1 \mod (n + 8) = n - 9
\]

Tiếp tục chúng ta tính ƯCLN của \( n + 8 \) và \( n - 9 \):

\[
n + 8 = k(n - 9) + r
\]

Chọn \( k = 1 \):

\[
(n + 8) - (n - 9) = 17
\]

Vậy:

\[
n + 8 \mod (n - 9) = 17
\]

Cuối cùng, chúng ta tính ƯCLN của \( n - 9 \) và 17.

Vì 17 là số nguyên tố, ƯCLN của \( n - 9 \) và 17 sẽ là 17 nếu \( n - 9 \) chia hết cho 17, hoặc 1 nếu không.

Từ đó, chúng ta có kết quả:

\[
\text{ƯCLN}(9n + 4, 2n - 1) = \begin{cases}
17 & \text{nếu } (n - 9) \text{ chia hết cho } 17 \\
1 & \text{nếu không}
\end{cases}
\]