Để tìm số nguyên nhỏ nhất \( n \) sao cho \( n + 1 \), \( n + 3 \), và \( n + 7 \) là các số nguyên tố, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng giá trị của \( n \) từ 0 trở đi.

1. **Với \( n = 0 \):**
- \( n + 1 = 1 \) (không phải là số nguyên tố)
- Dừng lại.

2. **Với \( n = 1 \):**
- \( n + 1 = 2 \) (số nguyên tố)
- \( n + 3 = 4 \) (không phải là số nguyên tố)
- Dừng lại.

3. **Với \( n = 2 \):**
- \( n + 1 = 3 \) (số nguyên tố)
- \( n + 3 = 5 \) (số nguyên tố)
- \( n + 7 = 9 \) (không phải là số nguyên tố)
- Dừng lại.

4. **Với \( n = 3 \):**
- \( n + 1 = 4 \) (không phải là số nguyên tố)
- Dừng lại.

5. **Với \( n = 4 \):**
- \( n + 1 = 5 \) (số nguyên tố)
- \( n + 3 = 7 \) (số nguyên tố)
- \( n + 7 = 11 \) (số nguyên tố)
- Tất cả đều là số nguyên tố.

Vậy số nhỏ nhất \( n \) sao cho \( n + 1 \), \( n + 3 \), và \( n + 7 \) là các số nguyên tố là \( n = 4 \).