Để chứng minh rằng \( B = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{90} \) chia hết cho 26, ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số cộng.

Trước tiên, ta nhận thấy đây là một dãy hình học với:

- Số hạng đầu \( a = 5 \)
- Công bội \( q = 5 \)
- Số hạng cuối là \( 5^{90} \)
- Số hạng của dãy là \( n = 90 \).

Công thức tổng của dãy hình học là:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Áp dụng vào bài toán, ta có:

\[
B = 5 \frac{5^{90} - 1}{5 - 1} = 5 \frac{5^{90} - 1}{4}
\]

Tiếp theo, để kiểm tra tính chia hết cho 26, ta sẽ kiểm tra các yếu tố của 26, tức là 2 và 13.

### Kiểm tra chia hết cho 2:
Rõ ràng:

\[
5 \text{ là số lẻ, và } 4 \text{ là số chẵn, nên } B \text{ là số chẵn.}
\]

Do đó, \( B \) chia hết cho 2.

### Kiểm tra chia hết cho 13:
Ta sẽ cần tính \( B \) modulo 13. Đầu tiên, chúng ta tính \( 5^{n} \mod 13 \):

- \( 5^1 \equiv 5 \)
- \( 5^2 \equiv 12 \)
- \( 5^3 \equiv 2 \)
- \( 5^4 \equiv 10 \)
- \( 5^5 \equiv 8 \)
- \( 5^6 \equiv 1 \) (vòng lặp bắt đầu lại mỗi 6 số)

Vì thế, \( 5^{n \mod 6} \mod 13 \) sẽ có chu kỳ là 6.

Ta có:

- \( 90 \mod 6 = 0 \Rightarrow 5^{90} \equiv 1 \mod 13 \)

Do đó:

\[
5^{90} - 1 \equiv 0 \mod 13
\]

Vậy \( B \) được tính như sau:

\[
B = 5 \frac{(5^{90} - 1)}{4} \Rightarrow 5 \cdot \frac{0}{4} \equiv 0 \mod 13
\]

Như vậy, \( B \) chia hết cho 13.

### Kết luận:
\( B \) chia hết cho cả 2 và 13, nên \( B \) cũng chia hết cho 26.

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( B \) chia hết cho 26.