Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau.

### a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB > AC. Đặt AM là trung tuyến từ A đến cạnh BC, theo định nghĩa, điểm M là trung điểm của BC.

- MD ⊥ AB tại D: Điều này có nghĩa là đoạn MD vuông góc với cạnh AB. Do đó, ∠ADM = 90°.
- ME ⊥ AC tại E: Điều này có nghĩa là đoạn ME vuông góc với cạnh AC. Do đó, ∠AME = 90°.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, điểm M nằm trên BC. Từ đó ta có:

- ∠ADM + ∠AME = 90° + 90° = 180°
- Bốn góc của tứ giác ADME là 90°, 90°, 90° và 90°.

Vậy tứ giác ADME có bốn góc vuông, suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm của ME. Chứng minh DM = EC và 3 điểm D, O, C thẳng hàng.
Đầu tiên, chúng ta xem xét chiều dài các đoạn DM và EC:

1. **Chứng minh DM = EC**:
- Xét tam giác vuông ADC và tam giác vuông AEC (AC vuông góc với AB và A):
- Ta có AD = AC và MD = ME vì MD và ME là độ cao tương ứng từ M đến AB và AC. Do đó, trong tam giác vuông, chiều dài DM và EC là bằng nhau, tức là DM = EC.

2. **Chứng minh 3 điểm D, O, C thẳng hàng**:
- O là trung điểm của ME, do đó, DM = EC = DO theo định nghĩa điểm O.
- Từ đó, ta thấy rằng, nếu ta nối các điểm này, theo chiều dài mà DM = EC, các điểm D, O, C sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.

### c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC, trên tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho HI = HA, trên tia đối của tia HB lấy điểm K sao cho HK = HB.
Các bước thực hiện như sau:

1. Kẻ đường cao AH từ A đến BC, tại điểm H, thì HB ⊥ AC và HA ⊥ AB.
2. Lấy điểm I trên tia đối của tia HA sao cho HI = HA.
- Để làm điều này, ta có thể di chuyển sao cho I nằm trên đường thẳng mở rộng từ A theo hướng ngược lại của HA theo khoảng cách bằng HA.
3. Lấy điểm K trên tia đối của HB sao cho HK = HB.
- Tương tự như trên, điểm K sẽ nằm trên đường thẳng mở rộng từ B ngược lại theo hướng của HB theo khoảng cách bằng HB.

Vậy là chúng ta đã hoàn tất bài toán với các yêu cầu đã đề ra.