Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng câu một.

### a) Chứng minh tứ giác BMDC là hình bình hành.

Ta có các điểm M và N là trung điểm của AB và AC, nên:
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}
\]

Vì A là điểm chung và M, N là trung điểm của AB và AC, ta cũng có:
\[
\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{B} \quad \text{và} \quad
\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{C} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{C}
\]

Xét vị trí điểm D có ND = NM (theo giả thiết), ta có:
\[
\overrightarrow{D} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{NM}
\]
Thay vào biểu thức, vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC,
\[
\overrightarrow{D} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{M} \quad \text{(ngược chiều)}
\]

Bây giờ, vì M và N là trung điểm và ND = NM, suy ra:
\[
\overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}
\]

Do đó, BM = DC và BD = MC, vì vậy tứ giác BMDC có 2 cặp cạnh đối bằng nhau nên BMDC là một hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác AMDC là hình gì?

Tứ giác AMDC là hình tứ giác có 2 đường chéo AC và MD. Vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC, điểm D được định vị dựa trên N. Do đó, tứ giác AMDC không phải là hình chữ nhật nhưng triangle AMN là tam giác vuông (A là góc vuông).

Tuy nhiên, để chắc chắn, ta có:
\[
\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{AM} \text{ do } \triangle ABC vuông tại A.
\]
Do đó, tứ giác AMDC sẽ có các cạnh đối bằng nhau và có một góc vuông, dẫn đến tứ giác AMDC là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh tam giác BDA cân

Trong tam giác BDA, ta cần chứng minh rằng BD = AD. Từ tứ giác BMDC là hình bình hành, có:
\[
BM || DC \text{ và } BD = MC
\]
vì tứ giác BMDC có BM = DC.

Ta xét các đoạn đường:
1. BM = DC
2. ND = NM

Từ các điều trên, ta có:
\[
AB = BD = AD
\]
Suy ra tam giác BDA là tam giác cân với BD = AD.

Vậy bài toán đã được chứng minh xong.