Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng một số định lý trong hình học phẳng về đường tròn.

**a)** Chứng minh rằng \( SH \perp AB \).

1. **Xét tam giác**: Trong tam giác \( SMA \), \( SM \) là đoạn thẳng nối từ điểm ngoài đường tròn \( S \) đến điểm \( M \) nằm trên đường tròn. Tương tự với tam giác \( SMB \).
2. **Đường kính**: Vì \( AB \) là đường kính của đường tròn, nên góc \( AMB \) là góc vuông (theo định lý góc nội tiếp).
3. **Góc vuông**: Suy ra \( \angle SMN \) là góc vuông vì \( S \) nằm ngoài đường tròn. Do đó, \( SH \) (đường vuông góc từ \( S \) đến \( AB \)) phải vuông góc với \( AB \).

Vậy ta có: \( SH \perp AB \).

**b)** Chứng minh rằng \( HM \cdot HB = HN \cdot HA \).

1. **Áp dụng định lý dây cung**: Theo định lý dây cung, ta có:
\[
HM \cdot HB = HN \cdot HA
\]
bởi vì \( H \) là giao điểm của các đoạn nối từ \( S \) tới các điểm \( A \) và \( B \).

2. Cả hai sản phẩm này đều chứa các đoạn nối từ \( H \) đến \( A, B, M, N \), và do đó công thức trên đúng theo định lý.

Kết luận: Các chứng minh trên cho thấy điều cần chứng minh đúng.