Để phân tích các mệnh đề trong bối cảnh của một tam giác đều \( ABC \) có cạnh \( a \) và trọng tâm \( G \), ta cần xem xét các tính chất của tam giác đều và trọng tâm.

1. **Mệnh đề a**: \( AB + BC = AC \)

- Vì tam giác \( ABC \) đều, ta có \( AB = AC = BC = a \).
- Thay vào công thức, ta có: \( a + a = a \), tức là \( 2a \neq a \).
- **Kết luận**: Mệnh đề này **sai**.

2. **Mệnh đề b**: \( AC - CB = 2a \)

- Cũng giống như trên, vì \( AC = a \) và \( CB = a \).
- Ta có: \( a - a = 2a \), tức là \( 0 \neq 2a \).
- **Kết luận**: Mệnh đề này **sai**.

3. **Mệnh đề c**: \( AB + AC = a\sqrt{3} \)

- Ta có: \( AB + AC = a + a = 2a \).
- \( 2a \neq a\sqrt{3} \) (vì \( 2a \) khác với \( a\sqrt{3} \) khi \( a \) khác 0).
- **Kết luận**: Mệnh đề này **sai**.

4. **Mệnh đề d**: \( BG - BC = \frac{a}{2} \)

- Trọng tâm \( G \) của tam giác chia mỗi đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm theo tỉ lệ 2:1.
- Đối với tam giác đều, từ đỉnh \( B \) đến trọng tâm \( G \), \( BG = \frac{2}{3} \) chiều cao của tam giác. Chiều cao \( h \) của tam giác đều được tính bằng \( h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \).
- Vậy: \( BG = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a \) và \( BC = a \).
- Do đó: \( BG - BC = \frac{\sqrt{3}}{3}a - a = (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)a \), không bằng \( \frac{a}{2} \).
- **Kết luận**: Mệnh đề này **sai**.

Tóm lại, tất cả các mệnh đề đều là **sai**.