Để giải bài toán tìm hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) sao cho thương của chúng là \(\frac{2}{3}\) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) của chúng bằng 12, ta có thể viết bài toán như sau:

1. Từ điều kiện thương của hai số, ta có:
\[
\frac{a}{b} = \frac{2}{3} \implies a = \frac{2}{3}b
\]
Do \(a\) và \(b\) phải là số tự nhiên, \(b\) cần phải chia hết cho 3. Giả sử \(b = 3k\) với \(k\) là số tự nhiên. Khi đó, ta có:
\[
a = \frac{2}{3}(3k) = 2k
\]

2. Bây giờ, ta tính BCNN của hai số \(a\) và \(b\):
\[
\text{BCNN}(a, b) = \text{BCNN}(2k, 3k)
\]
BCNN của hai số \(m\) và \(n\) được tính bằng công thức:
\[
\text{BCNN}(m, n) = \frac{m \cdot n}{\text{ƯCLN}(m, n)}
\]
Trong trường hợp này, \(\text{ƯCLN}(2k, 3k) = k\), vì 2 và 3 là các số nguyên tố cùng nhau.

Vậy:
\[
\text{BCNN}(2k, 3k) = \frac{(2k)(3k)}{k} = 6k
\]

3. Theo đề bài, ta có:
\[
6k = 12
\]
Do đó, giải ra \(k\):
\[
k = 2
\]

4. Thay giá trị \(k\) vào công thức tính \(a\) và \(b\):
\[
b = 3k = 3 \cdot 2 = 6
\]
\[
a = 2k = 2 \cdot 2 = 4
\]

Vậy hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) là \(4\) và \(6\).

**Kết quả**: \(a = 4\), \(b = 6\)