Để tìm hai số tự nhiên \( a \) và \( b \) thỏa mãn hai điều kiện:
1. Thương của chúng là \( \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \)
2. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của chúng là 12

Từ điều kiện 1, ta có:
\[ a = \frac{2}{3}b \]
Tức là \( a \) có thể được biểu diễn bằng thông qua \( b \).

Gọi \( b = 3k \) (với \( k \) là một số tự nhiên), thì:
\[ a = \frac{2}{3}(3k) = 2k \]

Như vậy, ta có:
\[ a = 2k \]
\[ b = 3k \]

Tiếp theo, để tính BCNN của \( a \) và \( b \), ta có công thức:
\[ \text{BCNN}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{GCD}(a, b)} \]

Ta tính toán:
- Tích của \( a \) và \( b \):
\[
a \cdot b = (2k)(3k) = 6k^2
\]

- GCD của \( a \) và \( b \):
Do \( a = 2k \) và \( b = 3k \), nên \( \text{GCD}(a, b) = k \).

Do đó, ta có:
\[
\text{BCNN}(a, b) = \frac{6k^2}{k} = 6k
\]

Theo điều kiện đã cho, \( \text{BCNN}(a, b) = 12 \), ta có:
\[ 6k = 12 \]
\[
k = 2
\]

Từ đó, ta có:
\[
a = 2k = 2 \cdot 2 = 4
\]
\[
b = 3k = 3 \cdot 2 = 6
\]

Vậy hai số tự nhiên \( a \) và \( b \) là:
\[
\boxed{4} \quad \text{và} \quad \boxed{6}
\]

Để kiểm tra lại:
- Thương \( \frac{a}{b} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \), thỏa mãn điều kiện.
- BCNN của \( a \) và \( b \):
\[
\text{BCNN}(4, 6) = 12, thỏa mãn điều kiện.
\]
Như vậy, \( a = 4 \) và \( b = 6 \) là đáp án đúng.