Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a. Chứng minh tam giác ABD = tam giác CAE

**Cách tiếp cận:**

1. **Công thức đồng dạng:** Do tam giác ABC vuông tại A, ta có \(AB = AC\). Gọi góc \( \angle A\) là góc vuông.

2. **Kẻ BD và CE vuông góc với AM:**
- Tam giác ABD và CAE có chung cạnh \(AB\), \(AC\).
- Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là điểm bắt đầu của các đường thẳng BD và CE vuông góc với AM.

3. **Góc vuông:**
- Vì \(BD \perp AM\) và \(CE \perp AM\) nên \( \angle ABD = \angle ACE = 90^\circ\).

4. **Tính chất cạnh:** Do \(AB = AC\) (giả thiết) và \( \angle ABD = \angle ACE\), ta có thể kết luận tam giác ABD và CAE là bằng nhau (thuyết đồng dạng).

### b. Chứng minh BD - CE = DE

1. **Xem lại cách đo:** Ta có \(BD\) và \(CE\) là chiều cao từ B và C đối với AM.

2. **Sử dụng định lý hình thang:** Vì BD và CE tương ứng vuông góc với đường AM, nên ta có hình thang BDCE cũng có hai cạnh BD và CE nối với hai cạnh của các tam giác.

3. **Chứng minh khoảng cách:** Ý tưởng là chứng minh rằng độ dài của các đoạn thẳng này thỏa mãn mối tương quan \( BD - CE = DE \).

4. **Áp dụng hình học:** Ta có thể sử dụng tính chất của các hình vuông và đồng hình để chứng minh cho mối quan hệ hai đoạn thẳng BD, CE và DE, dựa vào các góc vuông và các định lý hình học tương ứng.

### Kết luận

Vậy từ đó, ta có:

1. Tam giác ABD = tam giác AEC theo thuyết đồng dạng và tính chất của các góc vuông.
2. Khoảng cách \(BD - CE = DE\) cũng có thể được xác minh thông qua phương trình hình học và các đo đạc trong tam giác.

Từ đó, ta đã hoàn thành việc chứng minh yêu cầu của bài toán.