Để chứng minh các cặp số sau là số nguyên tố cùng nhau, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa: Hai số nguyên là nguyên tố cùng nhau nếu ước số chung lớn nhất (ƯSC) của chúng là 1.

### a. Cặp số \( (n+1) \) và \( (n+2) \)
Ta có hai số \( n+1 \) và \( n+2 \). Giả sử \( d \) là ước số chung của \( n+1 \) và \( n+2 \). Nghĩa là:
\[
d \mid (n+1) \quad \text{và} \quad d \mid (n+2)
\]
Từ đó, ta có:
\[
d \mid [(n+2) - (n+1)] = 1
\]
Điều này cho thấy rằng \( d \) chỉ có thể bằng 1. Do đó, \( \text{gcd}(n+1, n+2) = 1 \), tức là \( n+1 \) và \( n+2 \) là số nguyên tố cùng nhau.

### b. Cặp số \( (2n+2) \) và \( (2n+3) \)
Giả sử \( d \) là ước số chung của \( 2n+2 \) và \( 2n+3 \):
\[
d \mid (2n+2) \quad \text{và} \quad d \mid (2n+3)
\]
Tương tự, ta có:
\[
d \mid [(2n+3) - (2n+2)] = 1
\]
Dẫn đến \( \text{gcd}(2n+2, 2n+3) = 1 \), nghĩa là \( 2n+2 \) và \( 2n+3 \) là số nguyên tố cùng nhau.

### c. Cặp số \( (2n+1) \) và \( (n+1) \)
Giả sử \( d \) là ước số chung của \( 2n+1 \) và \( n+1 \):
\[
d \mid (2n+1) \quad \text{và} \quad d \mid (n+1)
\]
Từ phương trình, ta có:
\[
d \mid [2(n+1) - (2n+1)] = 1
\]
Điều này cho thấy rằng \( \text{gcd}(2n+1, n+1) = 1 \), tức là \( 2n+1 \) và \( n+1 \) là số nguyên tố cùng nhau.

### d. Cặp số \( (n+1) \) và \( (3n+4) \)
Giả sử \( d \) là ước số chung của \( n+1 \) và \( 3n+4 \):
\[
d \mid (n+1) \quad \text{và} \quad d \mid (3n+4)
\]
Áp dụng kết quả:
\[
d \mid [3(3n+4) - 3(n+1)] = 3n + 4 - 3n - 3 = 1
\]
Kết quả là \( \text{gcd}(n+1, 3n+4) = 1 \), nghĩa là \( n+1 \) và \( 3n+4 \) là số nguyên tố cùng nhau.

Tóm lại, qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh rằng các cặp số: \( (n+1, n+2) \), \( (2n+2, 2n+3) \), \( (2n+1, n+1) \), và \( (n+1, 3n+4) \) đều là các số nguyên tố cùng nhau.