Để giải phương trình

\[
x + \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1 + 4},
\]

ta tiến hành các bước sau:

1. **Đơn giản hóa bên phải**:
\[
\sqrt{x - 1 + 4} = \sqrt{x + 3}.
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x + \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 3}.
\]

2. **Đưa về một phía**:
Ta có:
\[
x + \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 3} = 0.
\]

3. **Biến đổi qua lại**:
Để dễ dàng hơn trong việc giải, ta đưa một số hạng ra khỏi biểu thức này. Ta sẽ bình phương cả hai bên nhưng cần chú ý rằng điều này có thể tạo ra nghiệm giả.

4. **Bình phương phương trình** (phần có chứa căn):
Giả sử \( y = \sqrt{x^2 - 1} \) (nhớ rằng \( y \geq 0 \)):
\[
x + y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 3}.
\]

5. **Bình phương hai bên**:
Từ phương trình, bình phương cả hai bên:
\[
(x + y)^2 = (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 3})^2.
\]
Tính toán hai bên:
- Bên trái:
\[
x^2 + 2xy + y^2.
\]
- Bên phải:
\[
(x + 1) + (x + 3) + 2\sqrt{(x + 1)(x + 3)} = 2x + 4 + 2\sqrt{(x + 1)(x + 3)}.
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
x^2 + 2xy + y^2 = 2x + 4 + 2\sqrt{(x + 1)(x + 3)}.
\]

6. **Thay \( y = \sqrt{x^2 - 1} \)**:
Thay \( y^2 = x^2 - 1 \) vào phương trình:
\[
x^2 + 2x\sqrt{x^2 - 1} + (x^2 - 1) = 2x + 4 + 2\sqrt{(x + 1)(x + 3)}.
\]

Sau đó, giản ước và nhóm lại các hạng tử, cố gắng cho \(\sqrt{(x + 1)(x + 3)}\) vào một phía.

7. **Giải phương trình đơn giản hơn**:
Tiếp tục phương pháp bình phương để khám phá nghiệm.


8. **Tìm nghiệm**:
Từ các bước trên và các phép toán có thể thực hiện, bạn có thể tìm ra các giá trị \( x \) cho phương trình ban đầu.

Cuối cùng, kiểm tra các giá trị khả dĩ cho \( x \) để chắc chắn nghiệm tìm được là hợp lệ và đảm bảo chúng thỏa mãn điều kiện của căn. Sau khi thực hiện quá trình kiểm tra và tính toán, bạn có thể xác định rằng nghiệm của phương trình chính là \( x = 2 \).

Phương trình có nghiệm:
\[
x = 2.
\]