Cho biểu thức A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{x - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt \( y = \sqrt{x} \)**: Khi đó, \( x = y^2 \) và biểu thức trở thành:
\[
A = \frac{y^2 - 3y}{y + 1}
\]

2. **Biến đổi biểu thức**:
\[
A = \frac{y^2 - 3y}{y + 1} = y - 4 + \frac{1}{y + 1}
\]

3. **Tìm giá trị nhỏ nhất**: Xem xét hàm:
\[
f(y) = y - 4 + \frac{1}{y + 1}
\]

Ta cần tìm đạo hàm để xác định điểm cực tiểu:
\[
f'(y) = 1 - \frac{1}{(y + 1)^2}
\]
Đặt \( f'(y) = 0 \):
\[
1 - \frac{1}{(y + 1)^2} = 0 \implies (y + 1)^2 = 1 \implies y + 1 = \pm 1
\]
Vậy \( y = 0 \) hoặc \( y = -2 \) (nhưng \( y = \sqrt{x} \geq 0 \), nên ta chỉ lấy \( y = 0 \)).

4. **Tính giá trị \( A \) tại \( y = 0 \)**:
\[
A(0) = \frac{0 - 3 \cdot 0}{0 + 1} = 0
\]

5. **Xét giới hạn khi \( y \to \infty \)**:
\[
\lim_{y \to \infty} A = \lim_{y \to \infty} \left( y - 4 + \frac{1}{y + 1} \right) = \infty
\]

Kết luận, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 0 \) khi \( x = 0 \).