Để tìm số tự nhiên \( a \) thỏa mãn điều kiện \( 60:a \), \( 150:a \), \( 210:a \) và \( 9 < a \leq 15 \), ta hiểu rằng điều này có nghĩa là \( a \) là ước chung của các số 60, 150 và 210.

1. **Tìm ước chung lớn nhất (UCLN)** của 60, 150 và 210.

- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
- \( 60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
- \( 150 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \)
- \( 210 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \)

- UCLN sẽ là tích của các số nguyên tố với số mũ là số nhỏ nhất của chúng trong tất cả các phân tích:
- UCLN = \( 2^{\min(2, 1, 1)} \cdot 3^{\min(1, 1, 1)} \cdot 5^{\min(1, 2, 1)} \cdot 7^{\min(0, 0, 1)} \)
- UCLN = \( 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 30 \)

2. **Tìm các ước của 30**: Các ước số tự nhiên của 30 là:
- \( 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \)

3. **Lọc ra các số tự nhiên \( a \) thoả mãn \( 9 < a \leq 15 \)**:
- Từ các ước của 30, ta có:
- Các giá trị ước trong khoảng \( (9, 15] \) là: \( 10, 15 \).

Vậy số tự nhiên \( a \) thỏa mãn các điều kiện đã cho là **10** và **15**.