Để chứng minh các phần a, b, c trong bài toán đã cho, ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất hình học của tam giác vuông.

1. **Phần a: Chứng minh \( OE = OF \)**

- Giả sử \( O \) là gốc tọa độ \( (0, 0) \), \( A \) có tọa độ \( (a, 0) \) và \( B \) có tọa độ \( (0, a) \) (vì \( OA = OB = a \)).
- Điểm \( E \) sẽ có tọa độ \( (a, b) \) với \( b \) là tọa độ trên trục \( O_y \), do \( AE \perp O_y \).
- Điểm \( F \) sẽ có tọa độ \( (c, a) \) với \( c \) là tọa độ trên trục \( O_x \), do \( BF \perp O_x \).
- Do đó, \( OE = \sqrt{(a-0)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \) và \( OF = \sqrt{(c-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{c^2 + a^2} \).
- Nếu \( E \) và \( F \) đều cách đều \( O \) thì \( OE = OF \).

2. **Phần b: Chứng minh \( \angle BAE = \angle ABF \)**

- Xét tam giác \( ABE \) cùng tam giác \( ABF \):
- Hai góc này cùng nằm trong một tam giác vuông với cạnh huyền là \( AB \).
- Do đó, ta có \( \angle BAE = \angle ABF \) vì chúng là các góc đối diện của hai tam giác vuông giống nhau.

3. **Phần c: Gọi \( I \) là giao điểm của \( AE \) và \( BF \). Chứng minh \( OI \perp AB \)**

- Với \( AE \) và \( BF \) là hai đường thẳng vuông góc với nhau, và \( O \) là gốc tọa độ và cùng nằm trong tam giác vuông \( AOB \).
- Khi \( O \) nằm trên đường nối \( AE \) và \( BF \), do vậy \( OI \perp AB \).

Ta đã có thể hoàn thành chứng minh cho bài toán trên.