Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định đây là một cấp số nhân. Chuỗi \( 3, 6, 12, 24, \ldots, 768 \) có thể được mô tả như sau:

- \( a_1 = 3 \)
- \( a_2 = 6 = 3 \times 2 \)
- \( a_3 = 12 = 6 \times 2 \)
- \( a_4 = 24 = 12 \times 2 \)
- ...
- \( a_n = 3 \times 2^{n-1} \)

Chúng ta có thể thấy rằng mỗi số hạng của cấp số nhân này tăng gấp đôi số hạng trước nó.

Ta cần tìm số hạng cuối cùng bằng \( 768 \):

Giải phương trình:

\[
3 \times 2^{n-1} = 768
\]

Chia cả hai vế cho 3:

\[
2^{n-1} = \frac{768}{3} = 256
\]

Ta biết rằng:

\[
256 = 2^8
\]

Như vậy:

\[
n - 1 = 8 \quad \Rightarrow \quad n = 9
\]

Bây giờ, chúng ta cần tính tổng \( S = 3 + 6 + 12 + 24 + \ldots + 768 \).

Theo công thức tổng số hạng của cấp số nhân, tổng của \( n \) số hạng đầu tiên là:

\[
S_n = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1}
\]

Trong đó \( a_1 = 3 \), \( r = 2 \), và \( n = 9 \):

\[
S_9 = \frac{3 \times (2^9 - 1)}{2 - 1} = 3 \times (512 - 1) = 3 \times 511 = 1533
\]

Vậy giá trị của \( 3 + 6 + 12 + 24 + \ldots + 768 \) là \( 1533 \).