Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần nhận diện quy luật của dãy số trong tổng \( S = 3 + 6 + 12 + 24 + \ldots + 768 \).

Dãy số trên là một dãy số hình thành từ quy luật nhân đôi:
- Số đầu tiên: \( 3 \)
- Số thứ hai: \( 6 = 3 \times 2 \)
- Số thứ ba: \( 12 = 6 \times 2 \)
- Số thứ tư: \( 24 = 12 \times 2 \)
- ...
- Số thứ năm: \( 768 = 384 \times 2 \)

Chúng ta có thể viết tổng \( S \) như sau:

\[ S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 + 768 \]

Bây giờ, ta nhận thấy rằng số hạng tiếp theo là số hạng trước nhân với \( 2 \).

Chúng ta có thể phân tích tổng \( S \) theo phương pháp \( S = 2S - S \):
- Khi nhân tổng S với 2, ta có:

\[ 2S = 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 + 768 + 1536 \]

Bây giờ, ta thực hiện phép trừ:

\[ S = 3 + (2S - S) \]

Khi trừ \( S \) khỏi \( 2S \):

\[ 2S - S = S \]

Ta có thể viết lại tổng:

\[ S - (2S - S) = 3 - 0 = 3 \]

Dãy số này có tổng số hạng tương đương với:

\[ S - 3 = S \]

Số hạng cuối cùng là \( 768 \).

Ta có phương trình tổng S như sau:

\[ S = 3 + (768 + 384 + 192 + 96 + 48 + 24 + 12 + 6) \]

Tối ưu lại, tổng các số hạng là:

\[ S = 3 + 3(2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256) \]

Tính tổng cho đến 768, ta biết rằng cấu trúc của dãy là 3 nhân với tổng từng số hạng của lũy thừa 2, từ \( 2^0 \) đến \( 2^8 \).

Từ tổng lũy thừa:

\[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^8 = 2^{9} - 1 = 511 \]

Cuối cùng, thay vào:

\[ S = 3 \times 511 \]

Do đó, tổng:

\[ S = 1533 \]

Vậy giá trị của \( 3 + 6 + 12 + 24 + \ldots + 768 \) là \( 1533 \).