Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( M(1; 2; -3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (1; -2; 3) \), chúng ta sử dụng công thức phương trình mặt phẳng:

\[
n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0
\]

Trong đó:
- \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm \( M \).
- \((n_1, n_2, n_3)\) là các thành phần của vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \).

Thay các giá trị vào công thức:

- \( n_1 = 1 \)
- \( n_2 = -2 \)
- \( n_3 = 3 \)
- \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \)

Phương trình sẽ trở thành:

\[
1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z + 3) = 0
\]

Giải phương trình trên:

\[
x - 1 - 2y + 4 + 3z + 9 = 0
\]
\[
x - 2y + 3z + 12 = 0
\]
\[
x - 2y + 3z = -12
\]

Từ đó, phương trình có thể viết lại dưới dạng:

\[
x - 2y + 3z + 12 = 0
\]

So sánh với các phương án đã cho, chúng ta tìm thấy rằng phương trình phù hợp là:

**C. \( x - 2y + 3z + 12 = 0 \)**.