Cho ∆ABC nhọn, M là một điểm nằm trên cạnh BC (M ≠ B, M ≠ C). Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC cắt AC, AB lần lượt tại E, F

Cho tam giác nhọn \( \Delta ABC \), với điểm \( M \) nằm trên cạnh \( BC \) và không trùng với \( B \) hoặc \( C \). Khi kẻ các đường thẳng song song với \( AB \) và \( AC \) từ điểm \( M \), các đường thẳng này sẽ cắt \( AC \) tại điểm \( E \) và cắt \( AB \) tại điểm \( F \).

### a) Tứ giác \( AEMF \) là hình gì? Tại sao?

Tứ giác \( AEMF \) là hình thang. Lý do là vì hai đường thẳng \( ME \) và \( MF \) là song song với hai cạnh \( AB \) và \( AC \) của tam giác \( \Delta ABC \). Khi đó, các cạnh \( AE \) và \( MF \) song song với nhau, tương tự là các cạnh \( AF \) và \( ME \), nên theo định nghĩa, \( AEMF \) là hình thang.

### b) Nếu \( \Delta ABC \) cân tại \( A \), xác định vị trí của điểm \( M \) để tứ giác \( AEMF \) là hình thoi.

Nếu \( \Delta ABC \) cân tại \( A \), nghĩa là \( AB = AC \). Để tứ giác \( AEMF \) là hình thoi, các cạnh đối diện \( AE \) và \( MF \) phải bằng nhau, cùng với \( AF \) và \( ME \).

Để điều này xảy ra, điểm \( M \) phải nằm trên đường trung tuyến từ \( A \) đến \( BC \) mà đối xứng qua đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Hay nói cách khác, điểm \( M \) cần được đặt sao cho khoảng cách từ \( M \) đến \( AB \) và \( AC \) là bằng nhau, đảm bảo rằng \( ME = MF \) và \( AE = AF \). Điều này sẽ tạo ra một tứ giác đều, tức là hình thoi.