a) Để chứng minh rằng tứ giác \( ABDE \) là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc \( \angle ABE + \angle ADE = 180^\circ \) hoặc \( \angle ADB + \angle AEB = 180^\circ \).

- Do \( O \) là trung tâm của đường tròn đường kính \( BC \), nên \( \angle BDC = 90^\circ \) (góc nội tiếp đối diện với đường kính).
- Từ đó, ta có \( \angle ABE + \angle ADB = \angle ABE + 90^\circ \) (vì \( B, D, C\) thẳng hàng).
- Đồng thời, \( \angle AED + \angle AEB = 90^\circ + \angle ADB = 180^\circ \).

Từ đó có thể suy ra rằng tứ giác \( ABDE \) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta chứng minh rằng \( \angle CAD = \angle CFD \).

- Xét tứ giác \( ABDE \) là nội tiếp, tức là \( \angle ABE + \angle ADE = 180^\circ \).
- Ta cũng có \( \angle CAD \) và \( \angle CFD \) là các góc tạo bởi các đường tiếp tuyến và đường bậc nhất tại điểm \( D \).
- Do vậy, từ yếu tố góc cạnh nội tiếp, tam giác \( ACD \) và \( CDF \) cùng chia sẻ một cạnh, dẫn đến \( \angle CAD = \angle CFD \).

c) Gọi \( M \) là trung điểm của \( EF \). Để chứng minh rằng \( AM \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \), ta cần chứng minh rằng \( AM \) vuông góc với bán kính \( OM \).

- Bởi vì \( EF \) là một đoạn thẳng vuông góc với \( OC \) tại \( D \), và \( E \) và \( F \) lần lượt cắt \( AC \) và \( AB \), ta thấy rằng điểm \( M \) sẽ nằm trên đường tròn \( (O) \).
- Do đó, ta có \( OD \) vuông góc với \( EF \).
- Đồng thời, vì \( M \) là trung điểm của \( EF \), khi kẻ đường vuông góc từ điểm \( O \) đến \( AM \) tại điểm \( M \) tạo thành vuông góc với bán kính tại điểm \( O \), thì \( AM \) là tiếp tuyến tại điểm \( M \).

Kết luận: Ta đã chứng minh các yêu cầu đã nêu ra trong bài toán.