Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. AD, BE, CF là 3 đường phân giác của tam giác đồng quy tại điểm I. Gọi K, G, H lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I tới 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác 

Để giải bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác AIH vuông cân

1. **Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác**:
- A(0, 0)
- B(3, 0)
- C(0, 4)

2. **Tính các đường phân giác**:
- Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 4 và BC = 5 (đúng theo định lý Pythagore). Gọi I là trọng tâm của tam giác.

Tọa độ trọng tâm (I) của tam giác được tính theo công thức:
\[
I\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = I\left(\frac{0 + 3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 4}{3}\right) = I\left(1, \frac{4}{3}\right)
\]

3. **Tính tọa độ của H** (chân đường vuông góc từ I tới AB):
- H có tọa độ là (1, 0) (vì AB nằm trên trục Ox).

4. **Tính tọa độ của K** (chân đường vuông góc từ I tới BC):
- Dễ dàng nhận thấy cạnh BC có phương trình y = -\(\frac{4}{3}\)(x - 3) + 0.
- Thay x = 1 vào phương trình này để tìm y của K:
\[
y_K = -\frac{4}{3}(1 - 3) = \frac{8}{3}
\]
- Do đó K(1, \(\frac{8}{3}\)).

5. **Tính độ dài các cạnh của tam giác AIH**:
- AH = y của A - y của H = 0 - 0 = 0.
- AI = \(1\) (phương trình trên trục y).
- IH = \(\sqrt{(1-1)^2 + \left(\frac{4}{3} - 0\right)^2} = \frac{4}{3}\).

6. **Xác định tính chất vuông cân**:
- Để chứng minh AIH vuông cân tại A, ta cần AI = AH.
- Từ các phép tính trên, ta thấy AI = AH và độ dài các cạnh này cũng bằng nhau nên tam giác AIH là tam giác vuông cân tại A.

### b) Tính tổng khoảng cách từ I tới 3 cạnh của tam giác

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được tính bằng công thức:
\[
\text{K} = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

1. **Khoảng cách từ I đến cạnh BC**:
- Phương trình BC: \(4x + 3y - 12 = 0\) (A = 4, B = 3, C = -12).
- Khoảng cách d(I, BC) = \(\frac{4 \cdot 1 + 3 \cdot \frac{4}{3} - 12}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{4 + 4 - 12}{5} = \frac{-4}{5} = \frac{4}{5}\).

2. **Khoảng cách từ I đến cạnh AC**:
- Phương trình AC: \(4x + 0y - 12 = 0\).
- Khoảng cách d(I, AC) = \(\frac{4 \cdot 1 + 0 \cdot \frac{4}{3} - 12}{\sqrt{4^2}} = \frac{-8}{4} = 2\).

3. **Khoảng cách từ I đến cạnh AB**:
- Phương trình AB: \(0x + 3y - 4 = 0\).
- Khoảng cách d(I, AB) = \(\frac{0 \cdot 1 + 3 \cdot \frac{4}{3} - 4}{\sqrt{0^2 + 3^2}} = \frac{0}{3} = 0\).

### Tính tổng khoảng cách
Tổng khoảng cách từ I đến 3 cạnh:
\[
\text{Tổng} = d(I, BC) + d(I, AC) + d(I, AB) = \frac{4}{5} + 2 + 0 = 2.8
\]

Do đó, tổng khoảng cách từ I đến 3 cạnh của tam giác ABC là 2.8.