Để tìm các số nguyên \( x, y \) thỏa mãn phương trình \( x^2 + x + 3 = y^2 \), trước tiên chúng ta sẽ sắp xếp lại phương trình:

\[
y^2 = x^2 + x + 3
\]

Giải phương trình này có thể thực hiện bằng cách thử nghiệm một số giá trị của \( x \) để tìm giá trị tương ứng của \( y \).

### Thử nghiệm với các giá trị nguyên của \( x \):

1. \( x = 0 \):
\[
y^2 = 0^2 + 0 + 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{3} \quad (\text{không là số nguyên})
\]

2. \( x = 1 \):
\[
y^2 = 1^2 + 1 + 3 = 5 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{5} \quad (\text{không là số nguyên})
\]

3. \( x = 2 \):
\[
y^2 = 2^2 + 2 + 3 = 9 \quad \Rightarrow \quad y = \pm 3 \quad (\text{có số nguyên: } (2, 3) \text{ và } (2, -3))
\]

4. \( x = 3 \):
\[
y^2 = 3^2 + 3 + 3 = 15 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{15} \quad (\text{không là số nguyên})
\]

5. \( x = -1 \):
\[
y^2 = (-1)^2 + (-1) + 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{3} \quad (\text{không là số nguyên})
\]

6. \( x = -2 \):
\[
y^2 = (-2)^2 + (-2) + 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{3} \quad (\text{không là số nguyên})
\]

7. \( x = -3 \):
\[
y^2 = (-3)^2 + (-3) + 3 = 3 \quad \Rightarrow \quad y = \pm \sqrt{3} \quad (\text{không là số nguyên})
\]

Tiếp tục thử nghiệm cho đến giá trị lớn hơn.

### Tóm tắt các trường hợp đã tìm được:
- \( x = 2 \), \( y = 3 \) hoặc \( y = -3 \)

### Kết luận:
Các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình \( x^2 + x + 3 = y^2 \) là:
- \( (2, 3) \)
- \( (2, -3) \)